解密09平面向量备战2020年高考文科数学之高频考点解密解析版

解密09平面向量高考考点命题分析三年高考探源考查频率平面向量的概念及线性运算平面向量的概念一般不直接考查，通常是结合后面的知识进行综合考查．平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.平面向量既有数，又有形，既有代数形式的向量加、减、数乘及数量积运算，又有向量加、减、数乘及数量积的几何意义，因此，高考的考查既有对向量的独立命题，也常与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合命题，解题时，注意向量的工具性及数形结合、转化与化归数学思想的运用.2018新课标全国Ⅰ72017新课标全国II4★★★平面向量的基本定理及坐标表示2019新课标全国Ⅱ32018新课标全国III13★★★★★平面向量的数量积及向量的应用2019新课标全国Ⅰ82019新课标全国III132018新课标全国Ⅱ42018新课标全国III202017新课标全国Ⅰ132017新课标全国III13★★★★★考点1平面向量的概念及线性运算题组一平面向量的概念调研1下列命题中，正确的是A．若abrr，则abB．若ab，则ab∥C．若ab，则abD．若1a，则1a【答案】B【解析】对于A，当abrr，a和b的方向未必相同，不能得到ab，A不正确；对于B，当ab时，a和b的长度相等，方向相同，所以ab∥成立，B正确；对于C，两向量长度可以比较大小，向量不能比较大小，C不正确；对于D，1a表示a的长度为1，1a不对，D不正确.故选：B.【名师点睛】本题主要考查了对向量概念的理解，属于基础题.求解时，根据向量的定义及向量共线的定义依次判断即可得解.☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a与||aa的关系：||aa是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二平面向量的线性运算调研2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AEEO，则EDA．1233ADABB．2133ADABC．2133ADABD．1233ADAB【答案】C【解析】11213333EDEAADACADADABADADAB.故选C.【名师点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.利用向量加法法则结合图象特点运算即可.调研3设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216BC，||||ABACABAC，则||AM________.【答案】2【解析】由||||ABACABAC可知，ABAC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，1||||22AMBC.调研4已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足,PABPCPAPPD0，则实数λ的值为________．【答案】−2【解析】如图所示，由APPD且PABPCP0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2APPD，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.题组三共线向量定理及其应用调研5设向量12,ee不共线，向量122ee与124ee平行，则实数__________．【答案】12【解析】∵122ee与124ee平行，向量12,ee不共线，∴存在实数k使得122ee=k（124ee）=k1e+4k2e，∴1.242kk故答案为：12．【名师点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．向量122ee与124ee平行则存在实数k使得122ee=k（124ee）=k1e+4k2e，对应系数相等即可.调研6设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2,2,2DCBDCEEAAFFB，则ADBECF与BCA．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由题意得13ADABBDABBC，13BEBAAEBAAC，CFCBBF13CBBA，因此121()333ADBECFCBBCACABCBBCBC，故ADBECF与BC反向平行．选A.☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，,OAOB不共线，满足OPxOAyOB(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y=1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2平面向量的基本定理及坐标表示题组一平面向量基本定理的应用调研1如图，在平行四边形ABCD中，,ACBD相交于点O，E为线段AO的中点，若,BEBABDR，则A．34B．14C．14D．34【答案】C【解析】∵BD＝2BO，BE＝λBA＋μBD，∴BE＝λBA＋2μBO.∵E为线段AO的中点，∴BE＝12(BA＋BO)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ−μ＝14.故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，根据平行四边形的图象特点得到BE＝λBA＋2μBO，又因为BE＝12(BA＋BO)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.调研2在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若ABAMAN，则λ＋μ=________.【答案】45【解析】解法一：连接AC，由ABAMAN，得11()()22ABADACACAB，即(1)2AB()222ADAC0，即1(1)()()22222ABADADAB0，即3(1)44AB()2AD0.又因为AB，AD不共线，所以由平面向量基本定理得14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB=45AT，∴45ATABAMAN，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a=λ1e1＋λ2e2的形式，是向量线性运算知识的延伸．2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二平面向量的坐标运算调研3已知向量a=(2，1)，b=(1，−2)．若ma＋nb=(9，−8)(m，n∈R)，则m−n的值为________．【答案】−3【解析】【解析】由a=(2，1)，b=(1，−2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，−2n)=(2m＋n，m−2n)，由已知可得2m＋n＝9m－2n＝－8，解得m＝2n＝5，从而m−n=−3.调研4在△ABC中，点P在BC上，且2BPPC，点Q是AC的中点，若PA=(4，3)，PQ=(1，5)，则BC等于A．(−6，21)B．(−2，7)C．(6，−21)D．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)ACAQPQPABCPCACAP，故选A．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三平面向量共线的坐标表示及运算调研5已知向量2,1a，1,3b，则下列向量与2ab平行的是A．22,3B．1,3C．1,2D．0,2【答案】A【解析】因为2,1a，1,3b，所以2(3,1),ab由(3,1)322,23可知2ab与向量22,3平行，故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.根据向量的线性运算，计算2(3,1),ab根据向量平行的基本定理即可判定.调研6已知梯形