信号分析的理论基础

第一章信号分析的理论基础一．公式和要点1．周期信号的判断：)()(Ttxtx信号正交条件：21221)(,0)()(ttiittjiKdttgjidttgtg2．奇异函数（1）单位阶跃0100)(tttu（2）单位冲激函数0)(1)(-tdtt0100)(nnnu0100)(nnn（3）)(tu和)(t关系：)()()()(-tdttdutudt)1()()()()(0nununknnuk（4）性质：)()0()()(tfttf3．信号的时域分析与变换信号的翻转：)()(tftf平移：)()(0ttftf展缩：)()(atftf4．卷积计算（1）定义：tdtfftftftg)()()(*)()(2121nmmnfmfnfnfng)()()(*)()(2121（2）图解法求卷积变量置换)()(),()(2211ftfftf反褶：)()(22ff平移（右移t个单位）：)()(22tftf，其中t为常数相乘：)()(21tff积分：tdtfftg)()()(21,g(t)为围线下面积（3）性质：卷积的微分：)(*)()(*)()(*)(122121tfdtdtftfdtdtftftfdtd卷积的积分：dftfdftfdffttt)(*)()(*)()(*)(122121)(*)()(*)(2121tftfdftfdtdt)(tf与奇异函数的卷积)()(*)()()(*)(00ttftttftfttf)()(*)()(')('*)(0)(0)(ttftttftfttfkk式中k表示求导或求积分的次数，k为正，表示求导，否则为积分nitifnunfdftutf)()(*)()()(*)(几何级数的求值公式表220211,11,11nnnnanaaaa21211,11,1121nnnnnnannaaaaa01,11nnaaa二．习题P41-1判断下列信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。（1）()2cos(3)4xtt解：设()xt为周期信号，周期为T，则有()()xtxtT2cos(3)2cos[3()]44ttT所以32Tk（k取最小整数）即()xt的周期为23（2）2()[sin()]6xtt解：2()[sin()]6xtt1[1cos(2)]23t所以()xt的周期为T（4）3()cos()78xnAn解：设序列()xn为周期序列，用周期为整数N,则有()()xnxnN33cos()cos(())7878AnAnN应有327Nk（k最小整数）143Nk=14（k取为3）P61-5已知()ft的波形如图1-5.1所示，是画出1()(2)gtft和2()(23)gtft的波形图解：画1()gt波形，需要先后进行平移和翻转，可有下面两种次序。①()ft（翻转）→()ft（右移）→1[(2)](2)()ftftgt②()ft（左移）→(2)ft（翻转）→1(2)()ftgt画2()gt的波形，要先后进行平移、翻转和压缩，可按多种次序进行。①()ft（压缩）→(2)ft（右移）→3[2()]2ftt=(23)ft（翻转）→2(23)()ftgt②()ft（翻转）→()ft→（左移）[(3)](3)ftft（压缩）→2(23)()ftgt③()ft→（右移）(3)ft（压缩）→(23)ft（翻转）→2(23)()ftgt1-6计算下列积分1.0(2)cos[(3)]ttdt解：原式=cos[(23)]cos2..0(3)ttedt原式=30(3)0etdt3..20()tetdt原式=2200()00eetdt1-7化简下列各式1.(21)d=1111()()2222tdut2.[cos()()]4dttdt=2[cos()]'()42dttdt3.[cos()]sindtttdtdt=00'()sinsin'|cos|1ttttdttt1-8计算下列卷积1.[()(2)*(1)]tututt[()(2)*(1)]tututt=[()(2)]*(1)tututt(1)[(1)(3)]tutut2.)1()()()(21tututftf解：dtutuuutftftf)1()()1()()(*)()(21dtuuuutuutuu)1()1()1()1()1()()()(dtuudtuudtuudtuutttt011110)1()1()()1()1()()()()2()1()1()(011110tudtudtudtudtttt)2()2()1()1(2)(tuttutttu3.已知信号,,21nubnfnuanfnn求卷积nfnfnf21*解：mmnmmnubmuanf)()()()(0nubabnmmnbanubnbanuababnnn),()1(),(11第二章傅立叶变换一公式及要点1.非周期信号的傅立叶变换正变换：()()jtFftedt逆变换：1()()2jtftFed频谱密度函数()F为复函数()()()jFFe其中：()F是的偶函数，()是的奇函数。2.傅立叶变换的性质性质时域频域时移0()ftt0()jtFe频移0()jtfte0()F时频展缩()fat0a()fatb0a1()Faa1()bjaeFaa※对称性()Ft2()f时域微分()nndftdt()()njF频域微分()()njtft()nndFd时域积分()fd1(0)()()FFj卷积定理12()*()ftft12()()ftft12()()FF121()*()2FF3.抽样信号的傅立叶变换均匀抽样定理：一个在频谱中不包含有大于频率mf的分量的有限频带信号，由对该信号以不大于12mf的时间间隔进行抽样的抽样唯一确定。12mf称为奈奎斯特抽样间隔，2mf称为奈奎斯特抽样率。4.典型信号的傅里叶变换及频谱图信号名称()ft波形图()()()jFFe频谱图矩形脉冲,20,2Ett()2ESa冲激脉冲()EtE阶跃函数()Eut()EEj直流函数E2()E冲激序列1()Tt11()112T二习题2-1求下列函数的频谱函数()F⑴0cos()attetut⑵已知[()]()ftF，求)cos()(02twtf解：⑴设10()cos()atftetut=001()2jtjtateee00()()1[)2ajtajtee则100111()[]2Fjajjaj220()ajaj根据频域微分性质11()()dFjtftd所以()()1Ftft()11dFjd()22()0dajjdaj22()0222[()]0ajaj解：⑵设[()]()ftF又000[cos][()()]t故20[()cos]ftt2001()*()*[()()]2FF001()*[()()]4FFF2-2求下列频谱函数()iF的原函数()ift（1）1()sgn()Fj解：根据傅里叶变换的对称性因为2sgn()tj又22sgn()jt2sgn()所以11()[sgn()]ftj1t2-3确定下列信号的最低抽样率与奈奎斯特间隔⑴(100)Sat⑵2(100)Sat⑶2(100)(60)SatSat解⑴因为[(100)(100)]utut200200()2Sa200(100)Sa由傅里叶变换的对称性[(100)]Sat12[(100)(100)]200uu[(100)(100)]100uu可知100m最低抽样率min210022msmff奈奎斯特间隔max12100smTf⑵根据频域卷积定理2[(100)]Sat[(100)(100)]SatSat1[(100)(100)]*[(100)(100)]2100uuuu[(200)(200)2()(200)(200)]20000uu其频谱如图所示因为200m所以最低抽样率220022msmff奈奎斯特间隔12200smTf⑶2[(100)(60)]SatSat2[(100)][(60)]SatSat[(100)(100)]100uu[(120)(120)2()(120)(120)]3600uuu因为120m所以最低抽样率1202msmff奈奎斯特间隔12120smTf2-4对一最高频率为400Hz的带限信号()ft抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能完全恢复()ft⑴抽样间隔T应满足和条件？⑵若T=1ms抽样，理想低通滤波器的截止频率cf应满足何条件？解：⑴由题意，()ft的最高频率400mfHz，则奈奎斯特抽样间隔为111.2522400mmsf所以抽样间隔T应满足1.25Tms⑵已知抽样间隔1Tms，则抽样频率11sfkHzT由抽样定理，cf应满足mcsmffff即400(1000400)cHzfHz600Hz第三章拉普拉斯变换一、公式及要点1.基本概念双边拉普拉斯变换()()stFsftedt（3-1）单边拉普拉斯变换0()()stFsftedt（3-2）拉普拉斯反变换1()()2jstjftFsedsj（3-3）式中s----复变量，亦称“复频率”，sj；()Fs----()ft的像函数。在S平面上，使积分（3-1）使绝对收敛，即()stftedt（3-4）的值的范围陈为收敛域。2.常见函数的拉普拉斯变换公式序号原函数()ft，0t像函数1()[()]Fsft1()t12()ut1s3t21s4ate1sa5sint22s6cost22ss3.拉普拉斯反变换⑴部分分式展开法首先将()Fs展成部分分式，然后将各部分分式逐项进行反拉斯变换，最后叠加起来即为原函数()ft。111012()()()()mmmmnnbsbsbsbFsaspspsp1212()()()nnkkkspspsp()()|iiispkspFs(1,2,)in若()Fs的极点1p为