82空间点线面的位置关系

栏目索引考点清单方法技巧8.2空间点、线、面的位置关系高考理数（课标专用）栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.平面的基本性质考点一点、线、面的位置关系考点清单栏目索引考点清单方法技巧说明公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.空间两直线间的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个平行在同一平面内零个异面不同在任何一个平面内零个栏目索引考点清单方法技巧3.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有以下三种:说明直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l⊄α.位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内 a⊂α有无数个公共点直线a与平面α相交 a∩α=A有且只有一个公共点直线a与平面α平行 a∥α没有公共点栏目索引考点清单方法技巧4.两个平面的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:注意(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面不一定平行;(2)即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,也不能推出这两个平面平行.位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行 α∥β没有公共点平面α与平面β相交 α∩β=l有一条公共直线栏目索引考点清单方法技巧例(2018湖南衡阳模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是 () A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH考向判断点、线、面的位置关系考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析连接EH,HC1,则EH􀱀A1D1.又A1D1∥FC1,FC1= B1C1= A1D1,∴FC1∥EH,且FC1= EH,∴四边形FC1HE是梯形,∴EF与HC1相交.故选C. 121212答案C栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.异面直线(1)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.其符号表示为:不存在平面α,使得a⊂α且b⊂α.当然也可以这样理解:a∩b=⌀且a、b不平行.(2)性质:两条异面直线既不相交也不平行.2.异面直线所成的角考点二异面直线所成的角栏目索引考点清单方法技巧如图,直线a,b是异面直线,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,相交直线a',b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,称这两条异面直线互相垂直.注意异面直线所成的角的范围是 ,所以空间两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.0,2栏目索引考点清单方法技巧例(2017福建四地六校联考,14)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,则异面直线AB与MN所成角的大小为.考向求异面直线所成的角考向突破解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PM∥AB,且PM= AB,PN∥CD,且PN= CD.所以∠MPN或其补角为AB与CD所成的角,则∠MPN=60°或∠MPN=120°,因为PM∥AB,所以∠PMN或其补角是AB与MN所成的角,因为AB=CD,所以PM=PN,若∠MPN=60°,则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°,所以AB与MN所成的角为60°.若∠MPN=120°,则∠PMN=30°,所以AB与MN所成的角为30°,1212栏目索引考点清单方法技巧综上,异面直线AB与MN所成的角为30°或60°. 答案30°或60°栏目索引考点清单方法技巧方法1点、线、面位置关系的判定及应用1.点、线、面的位置关系的判定方法(1)应用平面的基本性质及有关定理.(2)采用穷举法,即对各种关系都进行考虑,要充分发挥模型的直观性作用.(3)对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等.另外,若原命题不太容易判断真假,可以考虑判断它的逆否命题的真假,再根据原命题与逆否命题真假性相同得出原命题的真假.方法技巧栏目索引考点清单方法技巧(4)应用线、面平行的判定定理和性质定理进行判断,注意其使用的前提条件.2.点、线、面的位置关系的应用(1)证明点共线问题的方法:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上.②同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.(2)证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.(3)证明点、直线共面问题的方法:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.②辅助平面法:先证明部分点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.栏目索引考点清单方法技巧例1(2018黑龙江哈师大附中三模,11)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AD的中点,过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为 ()A.5B.2 C.2 D.656解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析取BC的中点F,A1D1的中点G,连接DF、B1F、DB1、DG、GB1、GF,∵棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AD的中点,∴BE∥DF,A1E∥GD,又A1E∩BE=E,DG∩DF=D,A1E、BE⊂平面A1BE,DG、DF⊂平面DFB1G,∴过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G,∵DF=FB1=B1G=DG= = ,DB1= =2 ,GF=2 =2 ,∴过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为 = DB1·GF= ×2 ×2 =2 ,41544435321FBGDS菱形1212326栏目索引考点清单方法技巧故选C. 答案C栏目索引考点清单方法技巧方法2异面直线所成角的求法1.平移法具体步骤如下:2.向量法设异面直线a,b的方向向量分别为a,b,则异面直线a,b所成角的余弦值等于|cosa,b|= .||||||abab栏目索引考点清单方法技巧例2(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ()A. B. C. D. 315565522解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析本题考查异面直线所成的角.解法一:如图,将长方体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2,使AA1=A1A2,易知AD1∥B1C2,∴∠DB1C2或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角. 易知B1C2=AD1=2,DB1= = ,DC2= = = .在△DB1C2中,由余弦定理的推论得cos∠DB1C2= =22211(3)5222DCCC221(23)1322211221122DBBCDCDBBC栏目索引考点清单方法技巧 =- ,∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 .故选C.解法二:以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0, ),D1(0,1,0),D(0,1, ),B1(1,0,0),所以 =(0,1,- ), =(1,-1,- ),所以cos , = = = .故选C. 54132525555331AD31DB31AD1DB1111||||ADDBADDB011(1)(3)(3)2555答案C