83直线平面平行的判定与性质

曲一线让每一位学生分享高品质教育1/268.3直线、平面平行的判定与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.直线与平面平行的判定与性质①以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理.②能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明空间图形的平行关系2018江苏,15,14分直线和平面平行的判定面面垂直的判定★★★2017江苏,15,14分直线和平面平行的判定线线垂直的判定、面面垂直的性质2016课标Ⅱ,14,5分直线和平面平行的判定和性质线面角、线面垂直的性质2014课标Ⅱ,18,12分线面平行的判定三棱锥的体积、二面角2.平面与平面平行的判定与性质2015山东,17,12分线面平行的判定、面面平行的性质线面垂直的性质、二面角★★☆分析解读从近5年高考情况来看,本节内容一直是高考的热点,主要考查直线与平面及平面与平面平行的判定和性质,常设置在解答题中的第(1)问,难度中等,解题时应注意线线平行、线面平行、面面平行的相互转化,应充分发挥空间想象能力以及逻辑思维能力.破考点【考点集训】考点一直线与平面平行的判定与性质1.(2017山西大学附中10月模拟,11)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()曲一线让每一位学生分享高品质教育2/26A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC∥截面PQMND.异面直线PM与BD所成的角为45°答案B2.(2017山西太原五中月考,14)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.答案63.(2018江苏无锡模拟,18)如图,在四面体PABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=AC,∠ACB=90°,D为PC的中点.(1)求证:AD⊥BD;(2)若M为PB的中点,点N在直线AB上,且AN∶NB=1∶2,求证:直线AD∥平面CMN.证明(1)∵PA=AC,D为PC的中点,∴AD⊥PC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∵AD⊂平面PAC,∴BC⊥AD.又∵AD⊥PC,BC∩PC=C,PC,BC⊂平面PBC,∴AD⊥平面PBC.∵BD⊂平面PBC,∴AD⊥BD.(2)连接DM,设BD与CM交于点G,连接NG.曲一线让每一位学生分享高品质教育3/26∵D、M分别为PC和PB的中点,∴DM∥BC且DM=12BC,∴DG∶GB=DM∶BC=1∶2.∵AN∶NB=1∶2,∴AN∶NB=DG∶GB.∴△BNG∽△BAD,∴AD∥NG.∵AD⊄平面CMN,NG⊂平面CMN,∴直线AD∥平面CMN.考点二平面与平面平行的判定与性质1.(2018安徽黄山二模,4)下列说法中,错误的是()A.若平面α∥平面β,平面α∩平面γ=l,平面β∩平面γ=m,则l∥mB.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βC.若直线l⊥平面α,平面α⊥平面β,则l∥βD.若直线l∥平面α,平面α∩平面β=m,直线l⊂平面β,则l∥m答案C2.(2017河南豫西五校4月联考,6)已知m,n,l1,l2表示不同直线,α、β表示不同平面,若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2D.m∥l1且n∥l2答案D3.(2017江西九江模拟,19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.(1)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;(2)证明:EF⊥A1C.曲一线让每一位学生分享高品质教育4/26解析(1)∵面DEF∥面ABC1,面ABC∩面DEF=DE,面ABC∩面ABC1=AB,∴AB∥DE,(4分)∵在△ABC中,E是BC的中点,∴D是线段AC的中点.(6分)(2)证明:∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1,∴侧面A1ACC1是菱形,∴A1C⊥AC1,(7分)又易得AB⊥A1C,∵AB∩AC1=A,∴A1C⊥面ABC1,(9分)∴A1C⊥BC1.(10分)又∵E、F分别为棱BC、CC1的中点,∴EF∥BC1,(11分)∴EF⊥A1C.(12分)炼技法【方法集训】方法1证明直线与平面平行的方法1.如图,空间几何体ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与平面ABCD垂直,且AE⊥AD,EF∥AD,P,Q分别是棱BE、DF的中点.求证:PQ∥平面ABCD.证明如图,作PM∥EA交AB于M,作QN∥EA交AD于N,连接MN.曲一线让每一位学生分享高品质教育5/26因为P、Q分别是棱BE、DF的中点,所以PM∥EA且PM=12EA,QN∥EA且QN=12EA,所以PM�QN,所以四边形PMNQ为平行四边形,所以PQ∥MN,又PQ⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,所以PQ∥平面ABCD.2.如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别是AC,A1C1的中点.(1)证明:AD1∥平面BDC1;(2)证明:BD∥平面AB1D1.证明(1)∵D1,D分别为A1C1,AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,∴C1D1�DA,∴四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥C1D.又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)连接D1D,如图.易知DD1�CC1,又CC1�BB1,∴BB1�DD1.故四边形BDD1B1为平行四边形.∴BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.3.(2018广东惠州一调,19)如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2√2,点E在A1D上.曲一线让每一位学生分享高品质教育6/26(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当𝐴1E𝐸𝐷为何值时,A1B∥平面EAC?并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由A𝐴12+AB2=A1B2,知AA1⊥AB,同理,AA1⊥AD,又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD.(4分)(2)当𝐴1E𝐸𝐷=1时,A1B∥平面EAC.(6分)理由如下:连接BD交AC于点O,连接OE,假设A1B∥平面EAC,由于A1B⊂平面A1BD,且平面EAC∩平面A1BD=OE,则OE∥A1B,∵O为BD的中点,∴在△A1BD中,E为A1D的中点,即𝐴1E𝐸𝐷=1.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,VD-EAC=VE-ACD,设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,且EF=1,所以EF⊥平面ACD,可求得S△ACD=√3,所以VE-ACD=13×1×√3=√33.(9分)又因为AE=√2,AC=2,CE=2,所以S△EAC=√72,所以13S△EAC·d=13×√72d=√33(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=2√217,所以直线A1B与平面EAC之间的距离为2√217.(12分)方法2证明平面与平面平行的方法1.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE∥平面DMF;曲一线让每一位学生分享高品质教育7/26(2)求证:平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.2.(2017河南中原名校联考,20)如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E,F分别为AD,PA的中点,在BC上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD.(1)求证:平面BEF∥平面PDQ;(2)求二面角E-BF-Q的余弦值.解析(1)证明:如图,以点A为原点,分别以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,曲一线让每一位学生分享高品质教育8/26则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),P(0,0,1),设Q(1,x,0),则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,x,-1),𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,a-x,0),(2分)若PQ⊥QD,则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0,Δ=(-a)2-4,∵在BC上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,∴Δ=0,∴a=2,x=1.(4分)∴Q(1,1,0),𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),又E是AD的中点,∴E(0,1,0),𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),∴𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,∴BE∥DQ,又BE⊄平面PDQ,DQ⊂平面PDQ,∴BE∥平面PDQ,又F是PA的中点,∴EF∥PD,∵EF⊄平面PDQ,PD⊂平面PDQ,∴EF∥平面PDQ,∵BE∩EF=E,BE,EF⊄平面PDQ,∴平面BEF∥平面PDQ.(6分)(2)设平面BFQ的法向量n1=(x,y,z),则n1·𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,n1·𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=0,易知𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,12),𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),∴{-𝑥+12z=0,𝑦=0,取z=2,得n1=(1,0,2),同理,可得平面BEF的一个法向量n2=(1,1,2),∴cosn1,n2=𝑛1·𝑛2|𝑛1||𝑛2|=√306,又易知二面角E-BF-Q为锐角,∴二面角E-BF-Q的余弦值为√306.(12分)过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案②③④2.(2014课标Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD曲一线让每一位学生分享高品质教育9/26的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.解析(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴的正方向,|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√3,0),E(0,√32,12),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√32,12).设B(m,0,0)(m0),则C(m,√3,0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(m,√3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,则{𝑛1·AC