84直线平面垂直的判定与性质

栏目索引考点清单方法技巧8.4直线、平面垂直的判定与性质高考理数（课标专用）栏目索引考点清单方法技巧考点一直线与平面垂直的判定与性质考点清单考向基础1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作l⊥α.栏目索引考点清单方法技巧类别文字语言图形语言符号语言判定如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(即线线垂直⇒线面垂直)  ⇒l⊥α如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面  ⇒b⊥α性质如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于平面内任意一条直线(即线面垂直⇒线线垂直)  ⇒a⊥b垂直于同一个平面的两条直线平行  ⇒a∥bla,lbabOa,babaabab(2)直线与平面垂直的判定和性质栏目索引考点清单方法技巧2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.(2)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.(3)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.常用结论(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.栏目索引考点清单方法技巧例1(2018广东东莞模拟,18)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示),连接AP、PF,其中PF=2 .(1)求证:PF⊥平面ABED;(2)求点A到平面PBE的距离.图1图25考向一证明空间直线与平面垂直考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:由翻折可知PB=BC=6,PE=CE=9,在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以PF⊥BF.在题图1中,由勾股定理得EF= = ,在△PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,∴PF⊥EF.又∵BF∩EF=F,BF⊂平面ABED,EF⊂平面ABED,∴PF⊥平面ABED.(2)连接AE.由(1)知PF⊥平面ABED,∴PF为三棱锥P-ABE的高.设点A到平面PBE的距离为h,226(1234)61栏目索引考点清单方法技巧又∵VA-PBE=VP-ABE,即 × ×6×9·h= × ×12×6×2 ,∴h= ,即点A到平面PBE的距离为 .131213125853853栏目索引考点清单方法技巧例2(2018河北石家庄模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是边长为 的正方形,PA⊥BD.(1)求证:PB=PD;(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥D-ACE的体积. 2考向二证明空间两直线垂直栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:设AC,BD交于点O,连接PO.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD且O为BD的中点.又∵PA⊥BD,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO.又∵BO=DO,∴PB=PD. 栏目索引考点清单方法技巧(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,OE,∴EQ= CD且EQ∥CD,又F为AB的中点,且AB􀱀CD,∴EQ􀱀AF.∴四边形AFEQ为平行四边形,∴EF∥AQ.∵EF⊥平面PCD,∴AQ⊥平面PCD,∴AQ⊥PD,∵PD的中点为Q,∴AP=AD= .由AQ⊥平面PCD,可得AQ⊥CD.又∵AD⊥CD,AQ∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA.又∵BD⊥PA,CD∩BD=D,∴PA⊥平面ABCD.VD-ACE=VE-ACD= × PA·S△ACD= × × × × × = ,故三棱锥D-ACE的体积为 .12213121312212222626栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l,那么两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做二面角的平面角.2.面面垂直的判定和性质考点二平面与平面垂直的判定与性质栏目索引考点清单方法技巧类别文字语言图形语言符号语言判定两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 ∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且∠AOB=90°,则α⊥β如果一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直(即线面垂直⇒面面垂直)  ⇒β⊥α性质如果两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面  ⇒l⊥α如果两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面  ⇒l⊥γllallal栏目索引考点清单方法技巧知识拓展垂直问题的转化方向图 在垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直做好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.栏目索引考点清单方法技巧例1(2018安徽淮北一中模拟,18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD. (1)求证:AF∥平面PEC;(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.考向一证明平面与平面垂直考向突破栏目索引考点清单方法技巧证明(1)取PC的中点G,连接FG、EG, ∵F为PD的中点,G为PC的中点,∴FG为△CDP的中位线,∴FG∥CD,FG= CD.∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,∴AE∥CD,AE= CD.1212栏目索引考点清单方法技巧∴FG=AE,FG∥AE,∴四边形AEGF是平行四边形,∴AF∥EG,又EG⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,∴AF∥平面PEC.(2)∵PA=AD,F为PD的中点,∴AF⊥PD,∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵CD⊥AD,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∵AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF,又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,由(1)知EG∥AF,∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.栏目索引考点清单方法技巧例2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面考向二垂直关系中的存在性问题ABCD?并证明你的结论.栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.(2)证明:如图,连接PG,因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD,又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB.栏目索引考点清单方法技巧因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明:取PC的中点F,连接DE、EF、DF.在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE.而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B,所以平面DEF∥平面PGB.因为BG⊥平面PAD,PG⊂平面PAD,所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD,AD∩BG=G,所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.栏目索引考点清单方法技巧方法1证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的判定定理:a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α.(2)利用平行线垂直于平面的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α.(3)利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α.(4)利用面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α.(5)利用面面垂直的性质:α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ.方法技巧栏目索引考点清单方法技巧例1S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.解题导引 栏目索引考点清单方法技巧证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE.栏目索引考点清单方法技巧又SD⊂平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.栏目索引考点清单方法技巧方法2证明平面与平面垂直的方法1.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角为90°);2.利用面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.作辅助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.栏目索引考点清单方法技巧例2(2018河南洛阳一模,19)如图,在四棱锥E-ABCD中,△EAD为等边三角形,底面ABCD为等腰梯形,满足AB∥CD,AD=DC= AB,且AE⊥BD.(1)证明:平面EBD⊥平面EAD;(2)若△EAD的面积为 ,求点C到平面EBD的距离. 123栏目索引考点清单方法技巧解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:如图,取AB的中点M,连接DM,由题意可知四边形BCDM为平行四边形,∴DM=CB=AD= AB, (1分)即点D在以线段AB为直径的圆上,∴BD⊥AD, (3分)又AE⊥BD,且AE∩AD=A,∴BD⊥平面EAD. (4分)∵BD⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面EAD. (6分)(2)∵BD⊥平面EAD,且BD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面EAD. (7分)∵等边△EAD的面积为 ,∴AD=AE=ED=2. (8分)取AD的中点O,连接EO,则EO⊥AD,EO= ,1233栏目索引考点清单方法技巧∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,∴BD= =2 ,∴S△EBD= ED·BD=2 . (10分)设点C到平面EBD的距离为h,由VC-EBD=VE-BCD,得 S△EBD·h= S△BCD·EO,又S△BCD= BC·CDsin120°= ,∴h= .∴点C到平面EBD的距离为 . (12分)22ABAD312313131233232