85空间向量在立体几何中的应用

栏目索引考点清单方法技巧8.5空间向量在立体几何中的应用高考理数（课标专用）栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:共线向量定理可以分解为两个命题(a,b(b≠0)为空间内任意两个向量):①a∥b⇒存在唯一实数λ,使得a=λb;②若存在实数λ,使得a=λb,则a∥b,其中命题②是空间向量共线的判定定理.(2)四点共面的充要条件:①空间一点P位于平面ABC的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 =x +y 成立;②对空间任意一点O,有 =x +y +z ,若x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面,反之亦成立.APABACOPOAOBOC考点一用向量法证明平行、垂直考点清单栏目索引考点清单方法技巧2.与空间向量运算有关的结论设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;(3)|a|= = ;(4)cosa,b= = .2a222123aaa||||abab112233222222123123abababaaabbb(3)空间向量基本定理:①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基底;②基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.栏目索引考点清单方法技巧3.利用空间向量解决平行、垂直问题设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v,则(1)l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R且k≠0;(2)l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0;(3)α∥β⇔u∥v⇔u=λv,λ∈R且λ≠0;(4)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;(5)l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R且k≠0;(6)α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.栏目索引考点清单方法技巧例(2018天津,17,13分)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN∥平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长. 考向用向量法证明平行、垂直考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析依题意,可以建立以D为原点,分别以 , , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M ,N(1,0,2).(1)证明:依题意 =(0,2,0), =(2,0,2).设n0=(x0,y0,z0)为平面CDE的法向量,则 即 不妨令z0=-1,可得n0=(1,0,-1).又 = ,可得 ·n0=0,又因为直线MN⊄平面CDE,所以MN∥平面CDE.DADCDG30,,12DCDE00DC0,DE0,nn0002y0,2x2z0,MN31,,12MN栏目索引考点清单方法技巧(2)依题意,可得 =(-1,0,0), =(1,-2,2), =(0,-1,2).设n=(x1,y1,z1)为平面BCE的法向量,则 即 BCBECFBC0,BE0,nn1111x0,x2y2z0,不妨令z1=1,可得n=(0,1,1).设m=(x2,y2,z2)为平面BCF的法向量,则 即 不妨令z2=1,可得m=(0,2,1).因此有cosm,n= = ,于是sinm,n= .所以,二面角E-BC-F的正弦值为 .BC0,CF0,mm222x0,y2z0,||||mnmn3101010101010栏目索引考点清单方法技巧故|cos , |= = ,由题意,可得 =sin60°= ,解得h= ∈[0,2].所以,线段DP的长为 .BPDC||||||BPDCBPDC225h225h323333(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得 =(-1,-2,h).易知, =(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,BPDC栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,θ为l1、l2所成的角,则cosθ=|cosa,b|= .(2)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与α所成的角,则sinθ=|cosa,n|= .(3)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=n1,n2或θ=π-n1,n2(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cosn1,n2= .||||||abab||||||anan1212||||nnnn考点二用向量法求空间角和距离栏目索引考点清单方法技巧2.点到平面的距离公式P为平面α外一点,a、n分别为平面α过P点的斜向量、法向量,d为P到α的距离,则d=|a|·|cosa,n|= .注意线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公式求解.||||ann栏目索引考点清单方法技巧例1(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 考向一利用空间向量求直线与平面所成的角考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析(1)证明:取AD的中点O,连接OB,OP.∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴OP⊥AD.∵BC= AD=OD,且BC∥OD,∴四边形BCDO为平行四边形,又∵CD⊥AD,∴OB⊥AD,∵OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB.过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.12栏目索引考点清单方法技巧 设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).设P(x,0,z)(z0),由PC=2,OP=1,得 得x=- ,z= ,2222(1)14,1,xzxz1232栏目索引考点清单方法技巧即点P ,而E为PD的中点,∴E .设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1),∵ = , =(1,1,0),∴ ⇒ 取y1=-1,得n=(1,-1, ).而 = ,则 ·n=0,而CE⊄平面PAB,13,0,22113,,424AP13,1,22AB11111130,220xyzxy1111,3,xyzy3CE513,,424CE栏目索引考点清单方法技巧∴CE∥平面PAB.(2)设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2),∵ =(0,1,0), = ,∴ 取x2=1,得m=(1,0, ).设直线CE与平面PBC所成角为θ.则sinθ=|cosm, |= = ,故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 .BCBP33,0,222220,330,22yxz3CE|CE||CE|||mm2828栏目索引考点清单方法技巧例2(2017福建漳州八校3月联考,8)已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点B到平面GEF的距离为 ()A. B. C. D. 111122111141111考向二利用空间向量求距离栏目索引考点清单方法技巧解析连接BG.以C为原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 其中C(0,0,0),G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0).∴ =(0,-4,2), =(2,4,-2), =(2,-2,0).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),CDCBCGBGGEEF栏目索引考点清单方法技巧则 即 令x=1,则y=1,z=3,∴平面GEF的一个法向量为n=(1,1,3).设点B到平面GEF的距离为h,则有h= = = = ,故选C.GE0,EF0,nn2420,220.xyzxy|BG|||nn|46|1121121111答案C栏目索引考点清单方法技巧方法1求解二面角的方法1.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.2.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平面角.3.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直方法技巧栏目索引考点清单方法技巧的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为二面角α-l-β的平面角.4.利用射影面积公式:cosθ= ,该法主要用来解决无棱二面角大小的计算问题,关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影.SS射原5.向量法:利用公式cosn1,n2= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意n1,n2与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.1212||||nnnn栏目索引考点清单方法技巧例1(2017山东,17,12分)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是 的中点.(1)设P是 上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小. DF︵CE︵栏目索引考点清单方法技巧解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°,因此∠CBP=30°.(2)解法一:取 的中点H,连接EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC= = .EC︵223213栏目索引考点清单方法技巧取AG的中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM= =2 .在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以EC=2 ,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.解法二:以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.13133栏目索引考点清单方法技巧 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1, ,0),故 =(2,0,-3), =(1, ,0), =(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的法向量.由 可得 取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,- ,2).33AEAG3CGAE0,AG0mm11112x3z0,x3y0.3栏目索引考点清单方法技巧设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的法向量.由 可得 取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,- ,-2).所以cosm,n= = .易知所求角为锐二面角,因此所求的角为60