直线和圆知识点总结

1练习一（直线和圆部分）知识梳理1．直线的倾斜角的范围是；求直线斜率的两种方法：①定义：k()2；②斜率公式：k2121yyxx12()xx．答案0,1802．直线方程的几种形式：①点斜式，适用范围：不含直线0xx；特例：斜截式，适用范围：不含垂直于x轴的直线；②两点式，适用范围：不含直线112()xxxx和直线112()yyyy；特例：截距式，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；③一般式，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．3．求过111(,)Pxy，222(,)Pxy的直线方程时：（1）若12xx，且12yy时，直线垂直于x轴，方程为1xx；（2）若12xx，且12yy时，直线垂直于y轴，方程为1yy；（3）若120xx，且12yy时，直线即为y轴，方程为0x；（4）若12xx，且120yy时，直线即为x轴，方程为0y。4．已知直线1l：11ykxb，直线2l：22ykxb，则①1l与2l相交；②1l与2l平行；③1l与2l重合；④1l与2l垂直．5．已知直线1l：1110AxByC，直线2l：2220AxByC，则①1l与2l相交；②1l与2l平行；③1l与2l重合；④1l与2l垂直．6．两点111(,)Pxy，222(,)Pxy之间的距离12=PP；点(,)Pxy到直线l：0AxByC的距离d；两平行直线1l：10AxByC与2l：20AxByC之间的距离d．7．圆的标准方程为222()()(0)xaybrr，其中为圆心，为半径；2圆的一般方程为220xyDxEyF表示圆的充要条件是2240DEF，其中圆心为，半径为．8．点与圆的位置关系圆的标准方程为222()()xaybr，点00(,)Mxy，（1）点在圆上：22200()()xaybr；（2）点在圆外：22200()()xaybr；（3）点在圆内：22200()()xaybr。9．直线与圆的位置关系判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式①240bac；②240bac；③240bac。（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径的大小关系①dr；②dr；dr。10．圆的切线方程①若圆的方程为222xyr，点00(,)Pxy在圆上，则过P点，且与圆222xyr相切的切线方程为200xxyyr；②经过圆222()()xaybr上的00(,)Pxy的切线方程为：200()()()()xaxaybybr。)(00xxkyy点00(,)Pxy在圆外，则可设切线方程为)(00xxkyy,利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k。11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式2221(1)()4ABABABABkxxkxxxx12．设圆1C：222111()()xxyyr，圆2C：222222()()xxyyr，则有两圆①相离12CC；②外切12CC；③内切12CC；3④相交12CC；⑤内含12CC．13．对称问题①点关于点的对称：利用中点坐标公式。②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。③点关于直线对称：利用垂直和平分。④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。常用的对称关系：点(a,b)点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b),点(,)ab关于点00(,)ab的对称点的坐标为00(2,2)aaba点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)，点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)，点(a,b)关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).练习题（第一部分）1．直线的倾斜角为,若3sin5，则此直线的斜率是（）A．43B．34C．43D．342.直线过点（-1，2）且与直线xy32垂直，则的方程是A．0123yxB.0723yxC.0532yxD.0832yx3．已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（）A．2B．1C．0D．1解析：两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D.点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况4．已知(2,3)A、(3,2)B，直线l过(1,1)P且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围（）A．34k或4kB．334kC．34k或14kD．344k解析：过点(3,2)B、(1,1)P的直线斜为11(2)31(3)4k，过点(2,3)A、(1,1)P的直线斜率为21(3)412k，画图可看出过点(1,1)P的直线与线段AB有公共点可4看作直线绕点(1,1)P从PB旋转至PA的全过程。5．直线l经过点(2,1)P，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S（）A．3B．4C．5D．8解析：设直线方程为1xyab，则有211ab，当,0ab时，21212abab，得8ab，即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显然与两坐标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l。6．已知直线l：10xy，1l：220xy，若直线2l与1l关于l对称，则2l的方程为（）A．210xyB．210xyC．10xyD．210xy解析：在1l上取两点(0,2),(1,0)，则它关于直线l的对称点为(1,1),(1,0)，所以2l的方程为210xy。7．已知点)1,0(M，点N在直线01yx上，若直线MN垂直于直线032yx，则点N的坐标是（）A．)1,2(B．)3,2(C．)1,2(D．)1,2(二、填空题8．过点（1，2）且与直线210xy平行的直线方程是_250xy_.9．已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，则a____.解：两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，233a，则a2．10．若过点)1,1(aaP和)2,3(aQ的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是.(2,1)a11．如果,0ab直线0cbyax的倾斜角为,且,sin1sin12sin则直线的斜率为___________.解析：由sin1sin1sinsincossincos22222，5OyXDCB(A)因为,0ab直线0cbyax的倾斜角为,所以tan0ab，又0,，所以(,)2，(,)242，所以0cossin22，所以sin(sincos)(sincos)2cos222222，所以tan22，22tan42tan31tan2k。三、解答题12.已知直线l经过直线3420xy与直线220xy的交点P，且垂直于直线210xy.（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.解：（Ⅰ）由3420,220.xyxy解得2,2.xy由于点P的坐标是（2，2）.则所求直线l与直线210xy垂直，可设直线l的方程为20xyC.把点P的坐标代入得2220C，即2C.所求直线l的方程为220xy.（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积11212S.13.求经过直线1l：3450xy与直线2l：2380xy的交点M，且满足下列条件①经过原点；②与直线3l：250xy平行；③与直线4l：250xy垂直的直线方程。答案：250xy14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，若折痕所在的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程。6解：（1）当0k时，A、D重合，折痕所在直线方程为21y（2）当0k时，设折叠后A落在线段上的点为)1,(aG，所以A与G关于折痕所在直线对称。1kkAG，可得ka,从而)1,(kG，线段OG之中点为)21,2(kM，折痕所在直线方程为)2(21kxky，化简得2122kkxy。练习题（第二部分）1．直线33yx与圆22(1)1xy的位置关系是（）A．相交但直线不过圆心B.相切C.相离D.相交且直线过圆心2．与圆0352:22xyxC同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（）A.18)1(22yxB.9)1(22yxC.6)1(22yxD.3)1(22yx3．圆心为1,32C的圆与直线:230lxy交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足0OPOQ，则圆C的方程为（）A．2215()(3)22xyB．2215()(3)22xyC．22125()(3)24xyD．22125()(3)24xy4．(,)Pxy是曲线1cos,sin.xy上任意一点，则22(2)(4)xy的最大值为（）A．36B．26C．25D．65．两个圆1C：222220xyxy与2C：224210xyxy的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7解析：因为1212120,4,13rrrrOO，所以121212rrOOrr，所以两圆相交，故两圆公切线有2条。6．从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．12B．35C．32D．0解析：圆222210xxyy的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan1314，该角的余弦值等于35。7．若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的斜率的取值范围是()A．[223,2]B．[23,23]C．[3,3]3D．[0,]解析：圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴22|22|2abab，∴2()4()1aabb0，∴23()23ab，()akb，∴2323k，选B.8．若直线20xyc按向量1,-1a=平移后与圆225xy相切，则c的值为（）A．8或2B．6或4C．4或6D．2或8解：将直线20xyc按向量