高考一轮复习函数的奇偶性与周期性

【2014年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．4．对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题．第3讲函数的奇偶性与周期性抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练奇、偶函数的概念奇、偶函数的性质周期性考向一考向二考向三函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数图象的特征：关于对称．偶函数图象的特征：关于对称．f(－x)＝f(x)原点考点梳理y轴f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数和一个偶函数的积是．相同奇函数考点梳理偶函数相反偶函数奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．考点梳理f(x＋T)＝f(x)存在一个最小助学微博奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．一条规律两个性质三条结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中ab)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.1．(2013·徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()．A．－1B．1C．－2D．22．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数3．(2012·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()．A．335B．338C．1678D．20124．(2012·浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f32＝________.5．(2013·开封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测AAB(－1,0)∪(1，＋∞)1234532【例1】►(2013·广州模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1)2＋x2－x；(2)f(x)＝lg4－x2|x－2|＋|x＋4|；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解(1)由2＋x2－x≥0，得－2≤x2，即函数f(x)的定义域是{x|－2≤x2}，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由4－x20，|x－2|＋|x＋4|≠0，得－2x2，即函数f(x)的定义域是{x|－2x2}．[审题视点]确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．考向一函数奇偶性的判断又f(x)＝lg4－x2|x－2|＋|x＋4|＝lg4－x22－x＋x＋4＝16lg(4－x2)，∴f(－x)＝16lg[4－(－x)2]＝16lg(4－x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)当x0时，f(x)＝x2＋x，－x0，f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，f(x)＝－x2＋x，－x0，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．【方法锦囊】1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(－x)是否等于±f(x).2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向一函数奇偶性的判断【方法锦囊】考向一函数奇偶性的判断【训练1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg1－x1＋x；(2)f(x)＝x2＋xx0，x2－xx0；(3)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2.解(1)由1－x1＋x0⇒－1x1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，故原函数是奇函数．1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(－x)是否等于±f(x).2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【方法锦囊】考向一函数奇偶性的判断(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(3)由1－x20，|x2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝lg1－x2－x2－2－2＝－lg1－x2x2.∵f(－x)＝lg[1－－x2]－x2＝－lg1－x2x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(－x)是否等于±f(x).2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.考向二函数奇偶性的应用【例2】►函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.考向二函数奇偶性的应用令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数．∴f(x－1)2⇔f(|x－1|)f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0|x－1|16，解之得－15x17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15x17且x≠1}．考向二函数奇偶性的应用【训练2】函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式fxx－120的解集．解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且由f(1)＝0，得f(－1)＝0.若fxx－120＝f(1)，则xx－120，xx－121，即0xx－121，解得12x1＋174或1－174x0.[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.考向二函数奇偶性的应用若fxx－120＝f(－1)，则xx－120，xx－12－1，即xx－12－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是x12x1＋174或1－174x0.[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求得f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值．[审题视点]判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点.考向三函数的奇偶性与周期性【方法锦囊】【例3】►设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2],∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)