高三数学教案--圆锥曲线中的最值及范围问题

第1页共7页课时考点14圆锥曲线中的最值及范围问题高考透析高考大纲：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系.解析几何与代数方法的综合.新题型分类例析热点题型1：重要不等式求最值（05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,FF在x轴上，长轴12AA的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l：x＝m(|m|＞1)，P为1l上的动点，使12FPF最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为222210xyabab，半焦距为c，则2111,aMAaAFacc2222224aaaccaabc由题意,得2,3,1abc221.43xy故椭圆方程为(Ⅱ)设0,,||1Pmym，当00y时，120FPF；当00y时，22102FPFPFM，只需求22tanFPF的最大值即可设直线1PF的斜率011ykm，直线2PF的斜率021ykm，002122222212002||2||1tan1121||1yykkFPFkkmymym奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆ll1A2A1F2PF1Moyx第2页共7页当且仅当201||my时，12FPF最大，2,1,||1Qmmm[变式新题型1]：已知椭圆C的方程是)0(12222babyax，双曲线12222byax的两条渐近线为21,ll，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l1l，又l与2l的交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当1l与2l的夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率，（2）若APFA，求的最大值.[启思]热点题型2：利用函数求最值（05上海•理19）点A、B分别是椭圆2213620xy长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x－4,y},由已知可得22213620(6)(4)0xyxxy则2x2+9x－18=0,解得x=23或x=－6.由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)(2)直线AP的方程是x－3y+6=0.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆321-1-2-3FAPBMoyx第3页共7页设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=6m,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－95x2=94(x－29)2+15,由于－6≤m≤6,∴当x=29时,d取得最小值15.[变式新题型2]如图，B（-c，0），C（c，0），AHBC，垂足为H，且BHHC3。（I）若ABAC0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（II）D分有向线段AB的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当572时，求椭圆的离心率e的取值范围.解：（I）因为BHHC3，所以H（c2，0）……1分又因为AHBC，设Acy(,)20由ABAC0，得(,)(,)ccyccy22000即yc02234……3分所以||()||()ABcccACccc323432342222，椭圆长轴231aABACc||||()……4分所以，eca31……5分第4页共7页OBHCAxyD（II）设D（xy11，），因为D分有向线段AB的比为所以xccyy110211，……7分设椭圆方程为xayb22221()ab0，将A、D点坐标代入椭圆方程eyb202241……①eyb22202224121111()()()……②……8分由①得ybe022214，代入②，整理的e221311……10分因为572，所以e21312[]，……12分又01e，所以3322e……13分热点题型3：利用导数求最值（05广东·20）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.解(I)（1）当0k时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程21y（2）当0k时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)所以A与G关于折痕所在的直线对称，有如图5(A)CDBxOy第5页共7页kakakkOG11,1故G点坐标为)1,(kG从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为)21,2(kM折痕所在的直线方程)2(21kxky，即222kkkxy由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21y；0k时222kkkxy（II）(1)当0k时，折痕的长为2;(1)当0k时,折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22kkPkN23222224)1()21()21(kkkkkPNy432222/168)1(42)1(3kkkkkky令0/y解得22k∴21627maxPN所以折痕的长度的最大值2热点题型4：利用判别式求参数范围（05全国Ⅲ·21）设11,yxA.22,yxB两点在抛物线22xy上，l是AB的垂直平分线（1）当且仅当21xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力解法一：（1）FBFAlFA、B两点到抛物线的准线的距离相等因为：抛物线的准线是x轴的平行线，0iy2,1i，依题意1y、2y不同时为0所以，上述条件等价于02121222121xxxxxxyy；奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆第6页共7页注意到：21xx，所以上述条件等价于021xx即：当且仅当021xx时，直线l经过抛物线的焦点F（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为bxy2；过点A、B的直线方程可写为mxy21，所以1x、2x满足方程02122mxx，即4121xxA、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式0841m，也就是：321m设AB的中点H的坐标为为00,yx，则有：812210xxx，mmxy161200由lH得：bm41161，于是：329321165165mb即：l在y轴上截距的取值范围是,329.解法二：（Ⅰ）∵抛物线22xy，即41,22pyx，∴焦点为1(0,)8F…………………………………………1分（1）直线l的斜率不存在时，显然有021xx………………3分（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b由已知得：12121212221kbkyyxxyyxx……5分2212122212122212222kbkxxxxxxxx22121212212kbkxxxxxx………7分2212104bxx14b即l的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F……………………8分所以当且仅当12xx=0时，直线l经过抛物线的焦点F……………9分(II)解：设直线l的方程为：y=2x+b,故有过AB的直线的方程为mx21y，代入抛物线方程有2x2+mx21=0,得x1+x2=-41.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆第7页共7页由A.B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式0m841，即321m由直线AB的中点为)2,2(2121yyxx=)m161,81()mx21,81(0，则,b41m161于是.329321165m165b即得l在y轴上的截距的取值范围是),329([变式新题型3]设圆锥曲线C的焦点是F(1，0)，相应准线是y轴，以过焦点F并与x轴垂直的弦为22.（Ⅰ）求圆锥曲线C(Ⅱ)若圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于过F点的直线l对称，求直线l的斜率的取值范围.[启思]奎屯王新敞新疆