正弦定理、余弦定理在生活中的应用

正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考.一、在不可到达物体高度测量中的应用例1如图，在河的对岸有一电线铁塔AB，某人在测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．分析：本题是一个高度测量问题，在BCD中，先求出CBD，用正弦定理求出BC，再在ABCRt△中求出塔高AB.解析：在BCD△中，CBD=π．由正弦定理得sinBCBDC=sinCDCBD．所以BC=sinsinCDBDCCBD=sinsin()s·．在ABCRt△中，AB=tanBCACB=tansinsin()s·.点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A、B，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距3km的C、D两点高，测得ACB=750，BCD=450，ADC=300，ADC=450（A、B、C、D），试求隧道的长度.分析：根据题意作出平面示意图，在四边形ABCD中，需要由已知条件求出AB的长，由图可知，在ACD和BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后再在ABC中，由余弦定理求出AB.解析：在ACD中，∵ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3.在BCD中，∠CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，BC=003sin75sin60=26)2在ABC中，由余弦定理，可得2222ABACBCACBCCOSACB，22202626)(3)()2237522ABCOS=5∴AB=5≈2.236km,即隧道长为2.236km.点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB的长，可以在ABD中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD与BD长，但求AD不如求AC容易，另外。实际问题应求出近似值.三、在航行中的应用例3在海岸A处，发现北偏东450方向，距A处31海里B处有一艘走私船，在A处北偏西750方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东030方向航行，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间.分析：根据题意作出平面示意图，设在D处追上走私船，由图知，要求追截方向和时间即求∠DCB及CD长度，先用余弦定理求BC及∠CBA，从而求出∠ABD，列出关于追截时间的方程，求出时间，再用余弦定理求出∠DCB.解析：设在D处追上走私船，所需时间为t小时，则CD=103t，BD=10t在ABC中，∵BAC=007545=0120，AB=31，BC=2，由余弦定理得2BC=2222(31)2(31)cos120=6，cosCBA=2222ABBCACABBC=22(6)(31)226(31)=22又∵0∠CBA，则∠CBA=450，则BC为正东西方向，在BCD中，0120CBD，由余弦定理得2222cosCDBCBDBCCDCBD，即2220(103)(10)(6)2106cos120ttt，解得，610t或620t（舍），∴BD=6，CD=32，∴BD=BC，∴030DCBBDC，故缉私船沿东偏北300方向追截，所需时间为610小时.点评：处理航行问题，一要理解方向角、方位角等概念，二要根据题意画出示意图，根据图将问题转化为三角形边或角的计算问题，利用正余弦定理计算之.在利用正余弦定理解决实际问题时，一要熟悉仰角、俯角、方向角、方位角等概念，二要能根据题意画出示意图，将问题转化为三角形的边角计算问题，利用正弦定理或余弦定理计算之，注意要为近似值.