中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

18字模型与飞镖模型8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．ODCBA模型分析证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．证法二：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；图②图①FDCBAEEBCDA图③21OADCBE图④GF12ADCBE解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E2＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．图②图①FDCBAEEBCDA312图⑤POQABEFCD图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；图②图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180°解法二：3（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．图②图①OOEEDDCCBBAA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：4模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．ABDC图①4321ABDC图②4321ABDC模型分析解法一：如图①，作射线AD．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C解法二：如图②，连接BC．∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．5MABCD2143MDCBA解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴12BAD，22BCD，∴22BADBCDAMCADC，∴3602BADCAMCADC（四边形内角和360°），∴3602BADCAMC，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.115°ABCDEF【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.6105°115°ABCD4321115°105°DCBA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BDAD+BC．OBCAD模型分析∵OA+ODAD①，OB+OCBC②，由①+②得：OA+OD+OB+OCBC+AD即：AC+BDAD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：(1)AB+BC+CD+ADAC+BD；(2)AB+BC+CD+AD2AC+2BD.OBCAD证明：(1)∵AB+BCAC①，CD+ADAC②，AB+ADBD③，BC+CDBD④7由①+②+③+④得：2(AB+BC+CD+AD)2(AC+BD).即AB+BC+CD+ADAC+BD.(2)∵ADOA+OD①，BCOB+OC②，由①+②得：AD+BCOA+OD+OB+OC．∴AD+BCAC+BD.（边的8字模型），同理可证：AB+CDAC+BD.∴AB+BC+CD+AD2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+ACBD+CD.ABDCCDBAE模型分析如图，延长BD交AC于点E。∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AEBE，∴AB+ACBE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，DE+ECCD，∴BE+ECBD+CD.②，由①②可得：AB+ACBD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点．求证：(1)2(AO+BO+CO)AB+BC+AC；(2)AB+BC+ACAO+BO+CO.ABCOOCBAE证明：(1)∵OA+OBAB①，OB+OCBC②，OC+OAAC③由①+②+③得：2(AO+BO+CO)AB+BC+AC(2)如图，延长BO交AC于点E，∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AEBE，∴AB+ACBE+EC.①∵BE+EC=BO+OE+EC，OE+ECCO，∴BE+ECBO+CO，②由①②可得：AB+ACBO+CO.③（边的飞镖模型）同理可得：AB+BCOA+OC.④，BC+ACOA+OB.⑤由③+④+⑤得：2(AB+BC+AC)2(AO+BO+CO).即AB+BC+ACAO+BO+CO.81．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+ACAD+AE.EABCD【答案】证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。由平移可得AC=BF，∵AC∥BF，∴∠ACE=∠BFD，∵BD=CE∴△AEC≌△FDB，∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BGAG，∴AB+BFAG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GFDF，∴AG+GFAD+DF②，由①②可得：AB+BFAD+DF.（飞镖模型）∴AB+AC=AB+BFAD+DF=AD+AE.∴AB+ACAD+AE.FECBADG证法二：如图②，将AC平移至DF，连接BF，则AC=DF，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD.∴BF=AE.∵OA+ODAD①，OB+OFBF②由①+②得：OA+OD+OB+OFBF+AD.∴AB+DFBF+AD.（8字模型）∴AB+AC=AB+DFBF+AD=AE+AD.∴AB+ACAD+AE.OFECBAD2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．9(3)图③将(2)中的点P变为两个点1P、2P，请比较四边形12BPPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.P2P1ABCCBACBAPP【答案】（1）如图①，BP+PCAB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）（2）△BPC的周长小于△ABC的周长。证明：如图②，延长BP交AC于M。在△ABM中，BP+PMAB+AM①在△PMC中，PCPM+MC②，由①+②得：BP+PCAB+AC.∴△BPC的周长小于△ABC的周长。PABCM（3）四边形12BPPC的周长小于△ABC的周长。证法一：如图③，分别延长1BP、2CP交于M，由（2）知，BM+CMAB+AC.又∵12PP12PMPM，∴1BP+12PP+2PCBM+CMAB+AC.∴四边形12BPPC的周长小于△ABC的周长.P1P2MABCP1P2NMABC10证法二：如图④，做直线12PP分别交AB、AC于M、N。在△BM1P中，1BPBM+1MP①在△AMN中，1MP+12PP+2PNAM+AN②，在△2PNC中，2PC2PN+NC③由①+②+③得：∴1BP+12PP+2PCAB+AC.∴四边形12BPPC的周长小于△ABC的周长.