高中三角函数经典例题

1/25高中数学三角函数经典例题（解析在后面）一、单选题（共20题；共40分）1.已知函数f(x)=cosx，下列结论不正确的是（）A.函数y=f(x)的最小正周期为2πB.函数y=f(x)在区间(0，π)内单调递减C.函数y=f(x)的图象关于y轴对称D.把函数y=f(x)的图象向左平移𝜋2个单位长度可得到y=sinx的图象2.如图,A、B两点为山脚下两处水平地面上的观测点,在A、B两处观察点观察山顶点P的仰角分别为α,β。若tanα=13,β=45°,且观察点A、B之间的距离比山的高度多100米。则山的高度为（）A.100米B.110米C.120米D.130米3.已知sin𝛼=√55，则cos2𝛼=（）A.−35B.35C.−3√55D.3√554.将函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度得到𝑔(𝑥)图象，则函数的解析式是（）A.𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋3)B.𝑔(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋6)C.𝑔(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)D.𝑔(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)5.若𝛼,𝛽均为第二象限角，满足sin𝛼=35，cos𝛽=−513，则cos(𝛼+𝛽)=（）A.−3365B.−1665C.6365D.33652/256.已知tan𝛼=1，则1+2cos2𝛼sin2𝛼=（）A.2B.-2C.3D.-37.要得到𝑦=sin𝑥2的图象，只要将函数𝑦=sin(12𝑥+𝜋4)的图象（）A.向左平移𝜋4单位B.向右平移𝜋4单位C.向左平移𝜋2单位D.向右平移𝜋2单位8.要得到函数𝑦=2sin(2𝑥+𝜋6)的图像，只需将函数𝑦=2sin2𝑥的图像（）A.向左平移𝜋6个单位B.向右平移𝜋6个单位C.向左平移𝜋12个单位D.向右平移𝜋12个单位9.函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的部分图象如图所示，则𝑓(𝜋)=（）A.4B.2√3C.2D.√310.已知角𝛼的顶点与坐标原点重合，始边与𝑥轴的非法半轴重合，终边经过点𝑃(1,−2)，则sin2𝛼=（）A.−2√55B.−4√55C.45D.−4511.数𝑓(𝑥)=sin(4𝑥+𝜙)(0𝜙𝜋2)，若将𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋12个单位后所得函数的图象关于𝑦轴对称，则𝜑=（）A.𝜋12B.𝜋6C.𝜋4D.𝜋312.sin140°cos10°+cos40°sin350°=（）A.12B.−12C.√32D.−√323/2513.已知𝛼,𝛽∈(0,𝜋2)，cos𝛼=17，cos(𝛼+𝛽)=−1114，则𝛽=（）A.𝜋6B.5𝜋12C.𝜋4D.𝜋314.要得到函数𝑦=2√3cos2𝑥+sin2𝑥−√3的图象，只需将函数𝑦=2sin2𝑥的图象（）A.向左平移𝜋3个单位B.向右平移𝜋3个单位C.向左平移𝜋6个单位D.向右平移𝜋6个单位15.若sin(𝜋6−𝛼)=13，则cos(2𝜋3+2𝛼)=（）A.13B.−13C.79D.−7916.函数𝑦=sin(2𝑥+𝜑)(0𝜑𝜋2)图象的一条对称轴在(𝜋6,𝜋3)内，则满足此条件的一个𝜑值为（）A.𝜋12B.𝜋6C.𝜋3D.5𝜋617.关于𝑥的三角方程sin𝑥=13在[0,2𝜋)的解集为（）A.{arcsin13}B.{𝜋−arcsin13}C.{arcsin13,𝜋−arcsin13}D.{arcsin13,−arcsin13}18.已知𝛼满足tan(𝛼+𝜋4)=13，则tan𝛼=（）A.−12B.12C.2D.−219.已知𝛼、𝛽均为锐角，满足sin𝛼=√55   ,   cos𝛽=3√1010，则𝛼+𝛽=（）A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.3𝜋420.计算sin95°cos50°−cos95°sin50°的结果为（）A.−√22B.12C.√22D.√32二、填空题（共20题；共21分）4/2521.函数f(x)=Asin(𝜔x+𝜑)的部分图象如图，其中A0，𝜔0，0𝜑𝜋2．则𝜔=________;tan𝜑=________．22.若角𝛼满足sin𝛼+2cos𝛼=0，则tan2𝛼＝________；23.计算sin47°cos17°−cos47°sin17°的结果为________．24.角𝛼的终边经过点𝑃(−3,4)，则cos(𝜋2−𝛼)=________.25.函数𝑦=sin(𝑥+𝜑)，𝜑∈[0,𝜋]为偶函数，则𝜑=________.26.若扇形圆心角为120∘，扇形面积为43𝜋，则扇形半径为________.27.已知𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−𝜋6)(𝜔0)和𝑔(𝑥)=2cos(2𝑥+𝜑)+1的图象的对称轴完全相同，则𝑥∈[0,𝜋]时，方程𝑓(𝑥)=1的解是________.28.已知sin(𝜋−𝛼)=35,𝛼∈(𝜋2,𝜋)，则sin2𝛼=________.29.已知函数𝑦=sin𝑥的定义域是[𝑎,𝑏]，值域是[−1,12]，则𝑏−𝑎的最大值是________30.如果tan𝛼=2,则tan(𝛼+𝜋4)=________31.若函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜑),𝜑∈(0,𝜋)是偶函数，则𝜑等于________32.函数𝑓(𝑥)=2−sin𝑥cos𝑥的值域是________33.函数𝑦=arccos(𝑥−1)的定义域是________34.求𝑓(𝑥)=sin𝑥−cos2𝑥+2,𝑥∈[−𝜋6,2𝜋3]的值域________.5/2535.已知函数𝑦=2sin(2𝑥+𝜑)(0𝜑𝜋2)的一条对称轴为𝑥=𝜋6，则𝜑的值为________．36.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，tan𝐴+tan𝐵+√3=√3tan𝐴⋅tan𝐵，则𝐶等于________．37.方程cos𝑥=sin𝜋6的解为𝑥=________．38.弧长等于直径的圆弧所对的圆心角的大小为________弧度．（只写正值）39.若sin𝛼−cos𝛼=12，则𝑠𝑖𝑛2𝛼=________．40.若tan𝜃=−3，则cos2𝜃=________．三、解答题（共10题；共85分）41.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP=𝜋4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a，b)（1）当θ=𝜋6时，求ab的值（2）设θ∈[𝜋4，𝜋2]，求b-a的取值范围42.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且𝑏2=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐.（1）求角𝐵的大小；（2）求sin𝐴+sin𝐶的取值范围.43.已知函数𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+cos2𝑥.（1）求𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间；（2）当𝑥∈[−𝜋6,𝜋3]时，求𝑓(𝑥)的最大值和最小值.44.已知𝑓(𝑥)=𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+2𝑎−5(𝑎∈𝑅,𝑎0).6/25（1）当函数𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上的最大值为3时，求𝑎的值；（2）在（1）的条件下，若对任意的𝑡∈𝑅，函数𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈(𝑡,𝑡+𝑏]的图像与直线𝑦=−1有且仅有两个不同的交点，试确定𝑏的值.并求函数𝑦=𝑓(𝑥)在(0,𝑏]上的单调递减区间.45.向量𝑎⃗=(cos𝑥 ，−12) ，𝑏⃗⃗=(√3 sin𝑥 ， cos2𝑥)  ，𝑥∈𝑅，设函数𝑓(𝑥)=𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗．（Ⅰ）求𝑓(𝑥)的表达式并化简；（Ⅱ）写出𝑓(𝑥)的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数𝑓(𝑥)在区间[0，𝜋]内的草图；（Ⅲ）若方程𝑓(𝑥)−𝑚=0在[0，𝜋]上有两个根𝛼、𝛽，求m的取值范围及𝛼+𝛽的值．46.已知在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A为锐角，且满足3b=5asinB.（1）求sin2A+cos2B+C2的值；（2）若a=√2,ΔABC的面积为32，求b,c.47.如图所示,在平面直角坐标系中,角𝛼与𝛽(0𝛽𝛼𝜋)的顶点与坐标原点重合,始边与𝑥轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于𝑃、𝑄两点,点𝑃的横坐标为−45．7/25（I）求sin2𝛼+cos2𝛼1+cos2𝛼；（Ⅱ）若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√33,求sin𝛽．48.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵(𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2)的部分图象如图所示：（I）求𝑓(𝑥)的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）将𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋6个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数𝑔(𝑥)的图象,求函数𝑦=𝑔(𝑥)在𝑥∈[0,7π6]上的单调区间及最值．49.（1）请直接运用任意角的三角比定义证明：cos(𝛼−𝜋)=−cos𝛼；（2）求证：2cos2(𝜋4−𝛼)=1+sin2𝛼．50.设函数𝑓(𝑥)=1sin𝑥．（1）请指出函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）（2）请以正弦函数𝑦=sin𝑥的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：𝑦=𝑓(𝑥)8/25在区间(0,𝜋2)上单调递减．9/25答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：∵函数𝑓(𝑥)=cos𝑥其最小正周期为2π，故选项A正确；函数𝑓(𝑥)=cos𝑥在(0，π)上为减函数，故选项B正确；函数𝑓(𝑥)=cos𝑥为偶函数，关于𝑦轴对称，故选项C正确；把函数𝑓(𝑥)=cos𝑥的图象向左平移π2个单位长度可得cos(𝑥+π2)=−sin𝑥，故选项D不正确。故答案为：D【分析】利用余弦函数𝑓(𝑥)=cos𝑥的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左+右-”及诱导公式得出cos(𝑥+π2)=−sin𝑥进而得出答案。2.【答案】A【解析】【解答】解：设山的高度为ℎ，山高和𝐴𝐵的延长线交于点𝐶则𝐴𝐵=100+ℎ，∵𝛽=45°∴𝐵𝐶=ℎ又∵tan𝛼=13∴在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑃中，tan𝛼=𝑃𝐶𝐴𝐶=ℎ2ℎ+100=13解得：ℎ=100故答案为：A【分析】设山的高度为ℎ，山高和𝐴𝐵的延长线交于点𝐶则𝐴𝐵=100+ℎ，利用正切函数的定义即可求出答案。3.【答案】B【解析】【解答】依题意cos2𝛼=1−2sin2𝛼=1−2×(√55)2=35，故答案为：B.10/25【分析】利用二倍角的余弦公式列式，即可化简求值.4.【答案】C【解析】【解答】由题意，将函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度，可得𝑔(𝑥)=sin2(𝑥−𝜋6)=sin(2𝑥−𝜋3)的图象.故答案为：C．【分析】由已知利用三角函数的图象变换，函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥的图象向右平移𝜋6个单位长度，即可得到𝑔(𝑥)的函数的解析式.5.【答案】B【解析】【解答】解：∵sinα=35，cosβ=−513，α、β均为第二象限角，∴cosα=−√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=−45，sinβ=√1−𝑐𝑜𝑠2𝛽=1213，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ=(−45)•（−513）−35⋅1213=−1665，故答案为：B【分析】由已知求出cosα与sinβ的值，利用两角和的余弦公式即可求值.6.【答案】A【解析】【解答】因为1+2cos2𝛼sin2𝛼=3cos2𝛼+sin2𝛼2sin𝛼cos𝛼=3+tan2𝛼2tan�