(人教a版)必修一同步课件：分段函数及映射

第2课时分段函数及映射一、分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数.对应关系判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续.()(2)若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2=∅.()(3)函数是分段函数.()1x0,fx1x0，，＜提示：(1)错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可以是点或几段图象.(2)错误.虽然分段函数在x的不同取值范围，对应不同的对应关系，但D1∩D2可能不是空集，如函数(3)正确.它符合分段函数的定义.答案：(1)×(2)×(3)√x,0x1,fxx,1x0.二、映射非空唯一确定从集合A到集合B思考：映射与函数有什么区别与联系?提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集合，函数中集合A，B必须是数集.联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.【知识点拨】1.对分段函数的认识(1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.(2)定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.(3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集.(4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实.2.对映射概念的理解(1)非空集合：集合A,B可以是数集、点集或其他集合，但一定是非空的.(2)顺序性：集合A，B有先后顺序，从A到B的映射和从B到A的映射是不同的.(3)唯一性：A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，即要求对应是“一对一”或“多对一”.类型一分段函数求值问题【典型例题】1.(2012·江西高考)设函数则f(f(3))=()A.B.3C.D.2.(2013·温州高一检测)设函数若f(a)=4,则实数a=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22x1x1,fx2x1,x，，＞15231392x,x0,fxx,x0,＞【解题探究】1.形如f(f(x))的求值问题应如何求？2.在已知分段函数值的情况下如何确定自变量的值？探究提示：1.形如f(f(x))的求值问题可从里向外求，先求f(x)的值，再求f(f(x))的值.2.在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变量的值，即在分段函数不同的定义子区间内分别求.【解析】1.选D.f(3)=f(f(3))=f()=2.选B.当a≤0时，由-a=4,得a=-4;当a＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.2,32313.9【互动探究】题1条件不变，若f(a)+f(-1)=4,求a的值.【解析】因为-1≤1,所以f(-1)=2,又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2,当a≤1时，由a2+1=2,得a=±1;当a＞1时，由=2,得a=1(舍去)，所以a=±1.综上，a=±1.2a【拓展提升】1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论.(2)然后代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.【变式训练】(2013·绵阳高一检测)函数则f()的值为()A.B.C.D.18【解析】选C.∵x1,∴f(3)=32-3-3=3，又1,∴f()=f()=1-()2=221x,x1,fxxx3,x1，1f(3)1516271689131f(3)13138.9类型二分段函数的图象及应用问题【典型例题】1.已知函数f(x)定义在［-1,1］上，图象如图所示，那么f(x)的解析式是()A.B.C.D.x1,x1,0fxx,x(0,1［］］x1,x1,0fxx,x(0,1［］］x1,x1,0fxx,x(0,1［］］x1,x1,0)fxx,x0,1［［］2.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式.(2)如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？【解题探究】1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式?2.怎样建立题2中的函数关系？探究提示：1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.【解析】1.选C.当x∈［-1,0］时，设f(x)=ax+b,由图象过点(-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x∈(0,1］时，设f(x)=ax,由图象过(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x.所以x1,x1,0fxx,x(0,1.［］，］2.(1)设车费为y元，行车里程为xkm.则根据题意得(2)当x=20时，y=1.8×20-5.6=30.4,即当乘车20km时，要付车费30.4元.10,0x4,y1.2x5.2,4x181.8x5.6,x18.＜＜，＞【拓展提升】1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型.(2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式.(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.2.利用分段函数求解实际应用题的策略(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言.(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.【变式训练】已知(1)画出f(x)的图象.(2)若f(x)≥求x的取值范围.(3)求f(x)的值域.【解题指南】解答本题的关键是根据分段函数的性质及常见函数的图象画出f(x)的图象，然后根据条件求解(2)(3).2x,1x1,fx1,x1x1,＞或＜1,4【解析】(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.(2)由于结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是(-∞,］∪［+∞).(3)由图象知，当-1≤x≤1时，f(x)=x2的值域为［0,1］,当x＞1或x＜-1时，f(x)=1.所以f(x)的值域为［0,1］.11f(),2414121,2类型三映射及映射的判断【典型例题】1.(2013·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是()A.f:x→y=x2B.f:x→y=3x-2C.f:x→y=-x+4D.f:x→y=4-x22.下列对应是不是从A到B的映射，为什么？(1)A=(0,+∞),B=R,对应关系是“求平方根”.(2)A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是f:x→y=(其中x∈A,y∈B).(3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是f:x→y=(x-2)2(其中x∈A,y∈B).(4)A={x|x∈N},B={-1,1},对应关系是f:x→y=(-1)x(其中x∈A,y∈B).2x4【解题探究】1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？2.怎样判断一个对应是映射？探究提示：1.映射中要求元素对应是“一对一”或“多对一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素与之对应.2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素与之对应.【解析】1.选D.对于D，当x=2时，由对应关系y=4-x2,得y=0,在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射.2.(1)不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个，所以对A中任何一个元素，在B中都有两个元素与之对应.(2)是从A到B的映射.因为A中每个数的平方除以4后，都在B中有唯一的数与之对应.(3)不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.如0∈A,而(0-2)2=4∉B.(4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足：(1)集合A中元素在B中都有元素与之对应且唯一.(2)对应是一对一或多对一.【变式训练】(2013·杭州高一检测)a,b为实数，集合M={1},N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x,求a+b的值.【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a,故a=2,故N={2,0},而M中的可能对应集合N中的2或0，当对应2时，则=1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故b=2应舍去，当对应0时，则=0,则b=0，此时M={0,1}，符合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2.b,abababababa映射与函数的关系【典型例题】1.下列对应为A到B的函数的是()A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0x2.根据所给的对应关系，回答下面的问题：①A=N*,B=Z,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B；②A={x|x为高一(2)班的同学}，B={x|x为身高},f:每个同学对应自己的身高;③A=R,B=N,f:x→y=x∈A,y∈B.上述三个对应关系中，是映射的是______，是函数的是______.1,xx【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B,故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数；对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但无意义，故C不是A到B的函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函数.2.①②是映射，但②中A不是数集，所以②只能是映射，而不是函数.③中当x=0时，在集合B中没有元素与之对应.答案：①②①2【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点(1)两个集合是否为非空数集.(2)对集合A中的每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应.(3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.【变式训练】设M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},给出下面4个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是______.【解析】(1)(2)中，当0≤x≤2时，有部分与x对应的y值不在集合N中；(3)中，x在［0,2)内取值时，在集合N中有两个元素与之对应；只有(4)符合函数的概念.答案：(4)【规范解答】由分段函数值求自变量的值(范围)【规范解答】由f(a)=3，结合f(x)的解析式知，按a≤-1,-1＜a＜2和a≥2进行讨论.……………………1分①当a≤-1时，f(a)=a+2,……………………2分由a+2=3,【典例】【条件分析】得a=1,与a≤-1相矛盾，应舍去①.……………………4分②当-1＜a＜2时，f(a)=2a,……………………5分由2a=3,得a=满足-1＜a＜2.……………………7分③当a≥2时，f(a)=……………………8分由=3,得a=又a≥2,∴a=①……………………10分综上可知，a的取值为或②.……………………12分3,22a,22a26,6,326【失分警示】【防范措施】1.正确理解分段函数的含义分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间内对应关系不同，因此在求值时要注意自变量的取值.如本例，若不对自变量取值进行讨论，则易出错.2.分类标准要明确已知分段函数值求自变量的值时，要注意分类讨论，确定讨论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准.如本例是以-