搜索
2011年北京市教育科学研究参评论文类别：A编号：06题目：浅谈数形结合思想在数学教学中的应用内容提要:小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。数形结合的思想方法体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想方法是学好小学数学的重要思想方法之一，承载了为中学数学打好基础的任务。主题词：数形结合作者单位：海淀区区（县）第二实验小学学校作者姓名：刘坤通讯地址：北京市海淀区清河镇西邮编：100085联系电话单位：62914379住宅：手机：13811984361小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。数形结合的思想方法体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想方法是学好小学数学的重要思想方法之一，承载了为中学数学打好基础的任务。然而，目前小学数学课堂教学中，渗透数形结合的思想方法落实得怎样呢？经过调查我们发现很多老师认为小学接触到该词，当时与之相关的数学内容主要集中在：用线段表示应用题中的数量关系，关于路程、行程的应用题；对“数”的涵义绝大多数人回答为：数量关系。有一部分人列举数量关系的外延来代替，例如数字和代数的字母、表达式及其之间的运算。也有一小部分的人望文生义认为“数”指代数、数据、函数等。对“形”的涵义绝大多数人回答为：空间形式。有一部分人列举空间形式的外延来代替，例如图形、图象、实物等。基本上没有太离谱的答案。对“结合”的涵义答案相当多。大多数人认为“结合”就是：相互转化（换）、相互反映、相互表达、建立对应关系等等。对于“数形结合”的作用。“数无形时少直觉，形少数时难入微”。大部分人认为“数形结合”的主要作用在于将“数”转化为“形”，化抽象为形象，使学习者建立直观的认识，或使解题者便于发现问题的隐含条件，即以“形”助“数”。但没有人将借“数”解“形”及其同义词名单独地作为答案。通过对“数形结合”作用的调查发现，多数人对将数转化形比较关注，但是觉得数学思想方法在教学目标中不像知识目标那样显性，是隐性的，想渗透但不知怎样渗透、怎样培养。同时还可以发现对借“数”解“形”重视不足。数学思想方法的教学是很不到位的。部分教师仍然过分重视知识的传授或是进行大量的习题训练，而一些数学思想往往会被忽视，被理解成数学中最常见的、最基本、较浅显的内容，一带而过，有名无实。这种对数学思想方法理解偏颇的教学也导致了学生对数学本质理解的肤浅，不完整，也造成学生只能停留在解题方法的一招一式的模仿上，不易形成数学意识，因此学生对问题的审视不能站在一定的高度，对问题的解决缺乏灵活驾驭的能力。因此针对以上这些我难题，我在教学中关注了以下几点：一、数形结合，变“模糊”为“清晰”建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。例如：在学生学习《乘法的初步认识》时，因为同一意义可以表示两种乘法算式，如果老师在教学过程中，不注意数形结合，学生对乘法意义的理解及运用往往处于云里雾里的“一知半解”状态。如二年级有3个班，每班有4个三好学生，问：一共有多少个三好学生？这道题对于刚刚接触到“乘法”的二年级学生来说，有的会以样画葫芦地用3×4=12或4×3=12求出答案，也有的会用3+4=7，为什么会出现用加法运算呢？其实是不理解同一算式的两种不同含义，这时，可以将题目的意思用图表示出来，借助下图来理解：在看图的基础上，学生清楚地4+4+43×44×33+3+3+3理解：横看图形，得到4+4+4，可以表示成3×4或4×3，竖看图形，得到3+3+3+3，可以表示成3×4或4×3。但是，老师问学生：3×4、4×3表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊的表述3×4既表示3个4相加，也表示4个3连加，4×3既表示3个4连加，也表示4个3连加。如果不进行数形结合分析，学生脑中所构建的意义是模糊不清的。我认为：在学生表达3×4既表示3个4连加也表示4个3连加时，老师应该结合图形强调，3个4连加应该怎样看？（横看）4个3连加又应该怎样看？（竖看）指一指，说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来意义建构乘法算式所表达的意义。这样借助图形变抽象的乘法的意义为具体的事物，帮助学生将头脑中模糊的数学概念逐渐清晰，学生自然就不会出现3+4=7的错误了。二、数形结合，变“模仿”为“理解”在学生学习三角形、梯形等面积计算时，一般的教学过程是学生经历面积公式的推导之后，让学生运用面积公式解决图形面积问题。那么为什么学生在解题的过程中，常常会把三角形的面积公式中的“÷2”掉了呢？这样是否就把错误的原因简单地归结为“不细心”？其实不是那么简单，而是学生没有很好地理解公式的含义，即使有的学生做对了，他的解题活动也是完全建立在对公式的机械记忆和例题的简单模仿之上。那么，如何使学生在经历面积公式的推导之后，不是机械套用公式解决问题，而是进一步地理解面积公式意义呢？我在教学《三角形面积的教学》时，在学生经历三角形面积公式的推导之后，让学生独立求下列三角形的面积，提问：“你是怎样求的？为什么？”在反馈下面图（1）的解题思路时，要求学生说清楚8×5求的是什么？在图上画一画，指一指，老师在课件上展示正确的图像加以强化。8×5÷2呢？有的孩子解题思路同样强化数与形的紧密结合，以此促进学生理解三角形面积计算的算理，使学生知其然且知其所以然，同时也强化“转化”的数学思想方法。三、数形结合，变“定势”为“创造”数形结合能培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，是多种思维互相促进，和谐发展的主要形式。数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。教学中，教师要帮助学生克服思维定势，鼓励学生大胆合理地进行想象，让学生充分表现他们的“发明”、“创造”，培养他们的独立思考能力和探索精神，不拘泥于教师教过的一般解题模式，追求解题方法的新颖和奇特，能从新的角度、用灵活的方法解决问题。如计算+++=？按一般的解法，先进行通分，然后按同分母分数加法的法则算出结果，但这样算起来比较麻烦，如果借助作图，此题就不难了，解题方法非常简捷。实践证明：数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，获得较优化的解法，可以激发学生的灵感，产生顿悟，直接获得结果。四、数形结合，变“主观”为“现实”数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路。数学知识来源于现实，又必须符合现实，数形结合，能很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题。如：某医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？这道题表述的应用题中数量关系错综复杂时，就文字的理解，得出的数量关系是“长方形白布的面积÷三角巾面积=三角巾的块数”，即72×18÷（9×9÷2）=1296÷40.5，对于没有学过小数除法的学生是不能解答这道题目的。这道题是不是只有这种解题方法呢？这时我运用数形结合，将题目的意思用图表示出来：72里有几个9？18里有几个9？引导学生根据题意画出示意图可以先求共有几个正方形，再求有几个三角形。于是，有的学生想：72÷9×（18÷9）×2；有的学生想：82×18÷（9×9）×2。这样很好地帮助理清数量之间的关系，从而明确解题思路，甚至拓宽解题思路。当白布长度不是9分米的整数倍时，就不能主观地用面积包含关系来解答这类习题了。因为如果用面积包含关系来解答这类习题，其答案肯定会不符合实际。五、数形结合，变“抽象”为“直观”我国数学家张广厚说过：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度抽象思维的能力。但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”从这样的角度看，小学生在解决问题的过程中，学会数形结合，用画图的策略整理条件和问题，进而分析数量关系，解决问题。培养学生的思维能力，帮助学生形成“在抽象中看出直观”的意识和能力。48平方米48平方米4米6米六、数形结合，变“复杂”为“简单”小学生在学数学的过程中，往往会单维度地思考问题，这其实就是受他们空间想象能力制约的影响。儿童在观察的过程中，只观察到事物的表面现象，却不能透过现象，找出事物的本质。教师应指导他们逐渐懂得看问题应该从什么角度看，找出问题内在的规律，逐步形成由浅入深，将复杂问题简单化，培养学生数形结合的思想。例如：王阿姨以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元。卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外，还获利88元，你知道王阿姨共购进凉鞋多少双？一般学生用方程、假设法进行解答。这时，教师启发学生运用数形结合思想，将复杂的问题用图形表示，既简单又巧妙。即：用一大一小的两个长方形拼在一起，如下图：用长表示凉鞋的双数，宽表示每双凉鞋的单价，面积就表示凉鞋卖的钱数。①的面积表示已卖掉的凉鞋获得的利润，②的面积表示已卖掉的凉鞋的成本，③的面积表示5双凉鞋的成本。由条件可知：①的面积－③的面积＝88元。①的面积为：88＋65＝153元。已卖掉的凉鞋双数为：153÷（14.3－13）＝85双。这批凉鞋共有：85＋5＝90双。这样巧妙地利用长方形表示题目的条件，将应用题转化为图形问题，让人一目了然。让学生亲身经历将数学实际问题抽象成简单的数学图形并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么，数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．”一定程度上说明，数形结合思想在数学教学尤其是小学数学教学中起着十分重要的作用。【参考资料】：1、《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》北京师范大学出版社2、蒋巧君《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》小学数学教师2005年第5期3、陈军《捕捉生成性资源，引导建构数学模型》江苏教育2006年第4期