高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值

第1讲三角恒等变换与三角函数的化简、求值高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.真题感悟1.(2017·江苏卷)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析法一∵tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝tanα－11＋tanα＝16，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝75.法二tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16×1＝75.答案752.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβαtanβ.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.2.公式的变形与应用(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).(2)升幂、降幂公式1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2；sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.(3)角的拆分与组合2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝π4＋α－π4＝α－π3＋π3等.热点一三角函数式的化简与求值【例1】(1)(2018·泰州模拟)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.(2)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝________.解析(1)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanαtanπ5＋1tanαtanπ5－1＝2＋12－1＝3.答案(1)12cos2x(2)3探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】(1)(2018·徐州调研)计算：tan70°cos10°(3tan20°－1)＝________.(2)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为________.解析(1)原式＝sin70°cos70°·cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cos10°·232sin20°－12cos20°cos70°＝－2cos10°sin10°cos70°＝－sin20°cos70°＝－1.(2)由cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α，∵α∈π2，π，∴π4－α∈－3π4，－π4，sinπ4－α≠0，∴cosπ4－α＝16，∴sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.答案(1)－1(2)－1718热点二三角函数的求值(求角)【例2】(1)(2018·全国Ⅲ卷改编)若sinα＝13，则cos2α＝________.(2)(2017·南京、盐城联考)已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.解析(1)cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.(2)∵α为锐角，∴sinα＝1－172＝437.∵α，β∈0，π2，∴0＜α＋β＜π.又∵sin(α＋β)＜sinα，∴α＋β＞π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4.答案(1)79(2)12(3)－3π4探究提高(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.【训练2】(1)(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________.(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于________.解析(1)∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.(2)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.∴β＝π4.答案(1)3(2)π4(3)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sin(α＋π)的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值.解①由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.②由角α的终边过点P－35，－45得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.热点三三角恒等变换的应用【例3】(2018·苏州期末)已知函数f(x)＝(3cosx＋sinx)2－23sin2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若x∈－π2，π2，求函数f(x)的单调递增区间.解(1)因为f(x)＝3cos2x＋23cosxsinx＋sin2x－23sin2x＝32(1＋cos2x)＋3sin2x＋12(1－cos2x)－23sin2x＝－3sin2x＋cos2x＋2＝2sin2x＋5π6＋2.所以函数f(x)的最小值是0，此时2x＋5π6＝2kπ＋3π2，k∈Z，即x的取值集合为xx＝kπ＋π3，k∈Z.(2)当x∈－π2，π2时，2x＋5π6∈－π6，11π6，令－π6≤2x＋5π6≤π2或3π2≤2x＋5π6≤11π6，得－π2≤x≤－π6或π3≤x≤π2.所以f(x)的单调递增区间是－π2，－π6和π3，π2.探究提高三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.【训练3】已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－xcosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如y＝asinωx＋bcosωx函数的性质，可先化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数.一、填空题1.计算：tan12°－3（4cos212°－2）sin12°＝________.解析原式＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝2s