三角函数之三角比总结(全)

三角函数——三角比课题任意角三角比三角恒等式解斜三角形考点及考试要求角的概念的推广．弧度制．任意角的三角比．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦定理、余弦定理．教学内容任意角三角比一、知识点梳理：§1.1任意角和弧度制零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转任意角.12.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.角的集合：①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合：Zkk,2|②终边在x轴上的角的集合：Zkk,|③终边在y轴上的角的集合：Zkk,2|④终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,2|⑤终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,4|⑥终边在xy轴上的角的集合：Zkk,4|⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：Zkk，2⑧若角与角的终边关于y轴对称，则与角的关系：Zkk，2⑨若角与角的终边在一条直线上，则与角的关系：Zkk，⑩角与角的终边互相垂直，则与角的关系：Zkk，24．角度制：在平面几何里，把周角分成360等分，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制。5．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。符号rad表示，读作弧度。用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么比值rl就是角的弧度数的绝对值，即：rl6.弧长公式：rl扇形面积公式：211||22slrr扇形§1.2任意角的三角比1.任意角的三角比：在任意角的终边上任取一点P（异于原点），设P的坐标为(,)xy，OP=r，则022ryxr。规定：xyrxrytan,cos,sin。当)(2Zkk时，角的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，xytan无意义。除此之外，对于确定的角，上述三个三角比值都是唯一确定的。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。还规定：)(csc)(2,sec)(,cotZkkyrZkkxrZkkyx；余割；正割余切。2．三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.3．三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxy4.特殊角的三角比roxya的终边P（x,y)TMAOPxy二、典型例题【例1】角的终边与6的终边关于直线y=x对称，则=___________。（答：Zkk,23）【例2】若角是第二象限角，则2是第_______象限角。（答：一、三）【例3】已知扇形AOB的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）【例4】已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为______。（答：137）【例5】角是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是____________。（答：（－1，23））【例6】若0coscossinsin，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）【例7】若08，则tan,cos,sin的大小关系为_______________________。(答：cossintan)【例8】若为锐角，则tan,sin,的大小关系为_______________________。（答：tansin）单位圆：三角形的面积扇形的面积直角三角形的面积【例9】函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是______________。（答：)](322,32(Zkkk）三角恒等式一、知识点梳理：§1.3同角三角比的关系和诱导公式1.同角三角比的关系：倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan商数关系：)0(coscossintan，)0(sinsincoscot平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1解题思想：（1）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换。（2）利用直角三角形计算三角比，利用象限确定符号。（3）如果角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定。（4）如果仅知道角的一个三角比，那么就应根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。2.诱导公式：本质-----把角写成2k形式，口诀：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）。对于任意角的三角比，利用诱导公式总可以转化成锐角的三角比，转化的一般途径是：锐角内的角正角负角)2,0[。从任意角到锐角的转化途径不是唯一的。第一组诱导公式：cot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkkk第二组诱导公式：cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(第三组诱导公式：cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(第四组诱导公式：cot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(第五组诱导公式：tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(第六组诱导公式：tan)2cot(cot)2tan(sin)2cos(cos)2sin(3.两角和与差的余弦、正弦和正切：两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(两角和的余弦公式：sinsincoscos)cos(两角和的正弦公式：sincoscossin)sin(两角差的正弦公式：sincoscossin)sin(两角和的正切公式：)tantan1()tan(tantantantan1tantan)tan(两角差的正切公式：)tantan1()tan(tantantantan1tantan)tan(※)sin(cossin22baba，其中（通常取20）由22cosbaa，22sinbab确定。4.二倍角与半角的正弦、余弦和正切：二倍角的正弦公式：cossin22sin二倍角的余弦公式：2222sin211cos2sincos2sin二倍角的正切公式：2tan1tan22tan半角的余弦公式：2cos12cos半角的正弦公式：2cos12sin半角的正切公式：cos1cos12tan，cos1sin2tan，sincos12tansincos1cos1sin万能置换公式：2tan12tan2sin2，2tan12tan1cos22，2tan12tan2tan2二、典型例题：三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。再次观察代数式的结构特点。基本技巧有：（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例如：)()(，)()()()(2，22，)2()2(2等等。【例1】已知52)tan(，41)4tan(，那么)4tan(_____（答：223）【例2】已知20，且91)2cos(，32)2sin(，则)cos(______（答：729490）（2）三角比名称互化（切化弦）：【例3】求值)10tan31(50sinoo（答：1）（3）公式变形使用：)tantan1)(tan(tantan【例4】已知A、B为锐角，且满足1tantantantanBABA，则)cos(BA_____（答：22）（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式【例5】若)23,(，化简2cos21212121为_____（答：2sin）（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：【例6】求证：2tan12tan12sin21sin12（6）常值变换-----主要指“1”的变换：【例7】已知2tan，求22cos3cossinsin（答：53）（7）正余弦“三兄妹”---“xxcossin，xxcossin”：知一求二【例8】若txxcossin，则xxcossin=__（答：212t)；特别提醒：这里]2,2[t（8）辅助角公式：)sin(cossin22baba(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由abtan确定)在求最值、化简时起着重要作用。【例9】若方程cxxcos3sin有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）三、课堂练习：1．若x0，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是_______________（答：],43[]4,0[）2．已知53sinmm，524cosmm)2(，则tan___________（答：125）3．已知11tantan，则cossincos3sin______；2cossinsin2_______（答：35；313）4．已知ao200sin，则o160tan_______（答：B）A、21aaB、21aaC、aa21D、aa215．21sin)67tan(49cos的值为______________（答：3322）6．已知54)540sin(o，则______)270cos(o，若为第二象限角，则)180tan()]360cos()180[sin(2ooo=________。（答：54；1003）7．命题P：0)tan(BA，命题Q：0tantanBA，则P是Q的_________（答：C）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件8．已知53sin)cos(cos)sin(，那么______2cos（答：257）9．oo80sin310sin1______（答：4）10．已知,为锐角，xsin,ycos，53)cos(，则与的函数关系为______巧变角（答：xxy541532)153(x）11．已知12