2013年高考广东文科数学真题及答案

2013年广东文科高考试题（A卷）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合220,SxxxxR，220,TxxxxR，则ST（）A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}2.函数lg11xyx的定义域是（）A.1,B.1,C.1,11,D.1,11,3.若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则x+yi的模是（）A.2B.3C.4D.54.已知51sin25，那么cos（）A.25B.15C.15D.255.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A.1B.2C.4D.7图1i=i+1i=1,s=1S=S+(i-1)NYin输出S结束开始输入n图2俯视图左视图主视图2116.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（）A.16B.13C.23D.17.垂直于直线y=x+1且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是()A.20xyB.10xyC.10xyD.20xy8.设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若//,//ll，则//，则//B.若,ll，则//C.若,//ll，则//D.若,//l，则l9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是（）A.22134xyB.22143xyC.22142xyD.22143xy10.设a是已知的平面向量且a≠0。关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；②给定向量b和c，总存在实数和，使a=b+c；③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使a=b+c；④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使a=b+c。上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题：（本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11.设数列na是首项为1，公比为-2的等比数列，则1234aaaa12.曲线2lnyaxx在点1,a处的切线平行于x轴，则a13.已知变量x,y满足约束条件30111xyxy，则z=x+y的最大值是（二）选做题（14-15题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程是2cos。以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C参数方程是15.（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，33,ABBCBEAC，，垂足为E，则ED=三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）16．(本题满分12分)已知函数2cos12fxx，xR.（1）求3f的值；（2）若33cos,,252，求6f的值.17．(本题满分13分)从一批苹果中，随机抽取50只，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）80,8585,9090,9595,100频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在90,95的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85的有几个？（3）在（2）中抽出的4苹果中，任取2个，求重量在80,85和95,100中各有一个的概率.18．(本题满分14分)如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E,分别为AB,AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A-BCF，其中22BC。（1）证明：DE//平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；图3ABCDE图5图4FEDGCBAABCGDEF（3）当AD=23时，求三棱锥F-DEG的体积V.19．(本题满分14分)设各项均为正数的数列na的前n项的和为Sn，满足21441nnSan，*nN，且2514,,aaa构成等比数列。（1）证明：2145aa；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切的正正数n，有122334111111...2nnaaaaaaaa.20．(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L:x-y-2=0的距离为322.设P为直线L上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点。（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线L上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.21．(本题满分14分)设函数f（x）=32xkxx（k∈R）.(1)当k=1时，求函数f（x）的单调区间；(2)当k0时，求函数f（x）在[k,-k]上的最小值m和最大值M.2013年广东文科高考试题（A卷）参考答案一、选择题1.A2.C3.D4.C5.C6.B7.A8.B9.D10.C二、填空题11.1512.0.513.514.1cos(sinxy为参数）15.三、解答题16.解：（1）f（）=cos（）=·cos=1（2）∵cos=，∈（，2π）∴sin=－=－∴f（－）=cos[(－)－]=cos(－)=cos+sin=－17．解：（1）抽取的苹果总数为50个，重量在[90,95）的苹果有20个，所以苹果重量在[90,95）的频率===0.4（2）重量在[80,85）的苹果数=×4=1（个）（3）重量在[95,100）的苹果数=×4=3（个）记重量在[80,85）的1个苹果为A，重量在[95,100）的三个苹果分别是B1，B2，B3。在这四个苹果中任取两个，包括6个基本事件，分别是：A和B1、A和B2、A和B3、B1和B2、B1和B3、B2和B3符合要求的基本事件有：A和B1、A和B2、A和B3，共3个，所以重量在[80,85）和[95，100）中各有一个的概率P==18（1）证明：在等边三角形ABC中，∵AD=AE，∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠ABC=60°∴DE∥BC，在三棱锥A-BCF中，∵DE∥BC，BC平面BCF，DE不平面BCF∴DE∥平面BCF（2）证明：由题意可知，AF⊥BF，AF⊥CF，∴AF⊥平面BCF∵CF平面BCF，∴AF⊥CF在△BCF中，可求得BF=CF=，BC=∴BF²+CF²=BC²∴BF⊥CF∵AFBF=F∴CF⊥平面ABF（3）解：（粗略写）平面DEG∥平面BCF，三棱锥F-DEG的高为FG,FG=AF=DG=EG=S△DGE=××=V=FG=19、（1）证明：当n=1时，a1=S1，且4S1=a22-4-1，所以4a1=a22-5∴a22=4a1+5，∵数列na各项均为正数，∴2145aa（2）证明:21441nnSan……………①当n2时，4Sn—1=an2－4（n－1）－1…………②①－②得:4an=an+12－an2－4∴an+12=an2+4an+4=(an+2)2∵数列{an}各项均为正数，an+1=an+2,(n≥2)即an+1－an=2∴数列{an}是从第三项开始，公差d=2的等差数列∵a2,a5,a14成等比数列,∴a52=a2a14∴(a2+3d)2=a2(a2+12d)解得a2=3∴a1=（32—5）÷4=1，∴a2—a1=3—2=1∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=a1+(n－1)d=1+2(n－1)=2n－1(3)（输入好累啊，不详写了）裂项相消法：=（1-）+（-）……………=（1—）＜20、解：（Ⅰ）由023222c得，1c或5c（舍去），所以抛物线C的方程为24xy.（Ⅱ）设11,Axy，则有1011012yyxxx，即21010122yyxxx，因为2114xy，所以10101224yyyxx，化简可得0110220xxyy…①.同理，设22,Bxy，可得0220220xxyy…②.由①②可得直线AB的方程为00220xxyy.（Ⅲ）联立0022204xxyyxy，得22200020yyxyy，∴212002yyxy，2120yyy.由抛物线的定义可知11AFy，21BFy，∴2212121200011121AFBFyyyyyyyxy∵点P在直线l上移动，所以0020xy，∴2220000021225yxyyy，∴当012y时，AFBF有最小值，且最小值为92.21.解：（Ⅰ）当1k时，32fxxxx，2321fxxx.∵224310，∴0fx在R上恒成立，∴fx在R上单调递增.（Ⅱ）2321fxxkx，2412k.①
当0，即30k时，0fx在R上恒成立，∴fx在,kk上单调递增，mfkk，32Mfkkk.②当0，即3k时，令0fx，可得2133kkx，2233kkx，且12kxxk（可通过作差比较或利用图象）.于是fx在1,kx上单调递增，在12,xx上单调递减，在2,xk上单调递增，所以2min,mfkfx，1max,Mfkfx.因为32222222210fxfkxkxxkxkx，所以mfkk.因为23232111111210fxfkxkxxkkxkxkk，所以32Mfkkk.综上所述，当0k时，函数fx在,kk上的最小值mfkk，最大值32Mfkkk.