2013年广东高考理科数学试题及答案

20XX年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：台体的体积公式12121()3VSSSSh,其中1S，2S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合RxxxxM,022RxxxxN,022，则MN（）A．0B．2,0C．0,2D．2,0,22．定义域为R的四个函数3xy，xy2，12xy，xysin2中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．13．若复数z满足iiz42，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．)4,2(B．)4,2(C．)2,4(D．)2,4(4．已知离散型随机变量X的分布列为X123P53103101则X的数学期望)(XE（）A．23B．2C．25D．3图2开始输入ni1,s1i≤nss+(i1)ii1输出s结束是否正视图俯视图侧视图图15．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．314C．316D．66．设nm,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若mn，，，则mnB．若mn∥，，，则mn∥C．若mnmn，，，则D．若mmnn，∥，∥，则7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为)0,3(F离心率等于23，则C的方程是（）A．15422yxB．15422yxC．15222yxD．15222yx8．设整数4n，集合nX,,3,2,1令集合(,,),,,,,SxyzxyzXxyzyzxzxy且三条件恰有一个成立，若),,(),,(xwzzyx和都在S中，则下列选项正确的是（）A.SwyxSwzy),,(,),,(B.SwyxSwzy),,(,),,(C.SwyxSwzy),,(,),,(D.SwyxSwzy),,(,),,(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9-13题）9．不等式022xx的解集为．10．若曲线xkxyln在点),1(k处的切线平行于x轴，则k．11．执行图2所示的流程框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．ABOCDE图312．在等差数列na中，已知1083aa，则753aa．13．给定区域0444:xyxyxD，令点集000000(,),,(,)DTxyDxyZxyzxy是在上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定条不同的直线．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为)(sin2cos2为参数ttytx，C在点)1,1(处的切线为l,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E，若AB6，DE2，则BC．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()2cos(),12fxxxR（1）求()6f的值；（2）若33cos,(,2)52，求(2)3f17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．179201530图4DBCAE图5图6DBCEO'AO18．（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A90，6BC，D，E分别是AC，AB上的点，2CDBE，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'ABCDE，其中'3AO（1）证明：'AO平面BCDE；（2）求二面角'ACDB平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a，2*1212,33nnSannnNn．（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174naaa．20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点(0,)(0)Fcc到直线:20lxy的距离为322，设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点00(,)Pxy为直线l上的定点时，求直线AB；（3）当点P在直线l上移动时，求||||AFBF的最小值21．（本小题满分14分）设函数2()(1)()xfxxekxkR（1）当1k时，求函数()fx的单调区间；（2）当1(,1]2k时，求函数()fx在[0,]k上的最大值M20XX年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5．DCCAB6-8．DBB二、填空题9．(-2,1)10．-111．712．2013．614．2)4(sin15．32三、解答题16．（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(f（2）∵)2,23(,53cos，∴54-sin．∴252453)54(2cossin22sin,2571)53(21-cos22cos22∴)4sin2sin4cos2(cos2)42cos(2)1232cos(2)32(f2517)2524(2572sin2cos)2sin222cos22(2．17．（1）样本均值为226302521201917x．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162，故12名员工中优秀员工人数为41231（人）．（3）记事件A为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A发生的概率为33166684)(2121814CCCAP，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18．（1）折叠前连接OA交DE于F，∵折叠前△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC=6，所以OA⊥BC，OA=3，AC=BC=23又2BECD∴BC∥DE，22AEAD∴OA⊥DE，22AEAD∴AF=2，OF=1折叠后DE⊥OF，DE⊥A′F，OF∩A′F=F∴DE⊥面A′OF，又OFAOA面∴DE⊥A′O又A′F=2，OF=1，A′O=3∴△A′OF为直角三角形，且∠A′OF=90°∴A′O⊥OF，又BCDEDE面，BCDEOF面，且DE∩OF=F，∴A′O⊥面BCDE．（2）过O做OH⊥交CD的延长线于H，连接HA，∴OH=22AO=223，230)3()223(2222OHOAHA∵∠A′HO即为二面角BCDA的平面角，故cos∠A′HO=5153023HAOH．19．（1）令*21,32312NnnnanSnn中n=1得,32131221aa∴42212aa（2）由*21,32312NnnnanSnn；得)2)(1(612326121231nnnnannnnaSnnn∴)3)(2)(1(612)1(21nnnanSnn两式相减得)2)(1(2122)1(121nnnaanSSnnnn∴)2)(1(2122)1(121nnnaanannn∴)2)(1(212)2(2)1(12nnanannn∴11212nanann，∴11212nanann又由（1）知112,22,111221aaaa∴为公差的等差数列，为首相，是以11nan∴nnan．∴)(*2Nnnan．（3）∵)1111(21)1)(1(111122nnnnnn∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321nnnaaaan47)111(2147)111211(211nnnn20．（1）依题意得0,22322cc，∴1c．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x2=4y（2）设A（x1，421x），B（x2，422x），∴可设A、B中点坐标为M)82(222121xxxx，所以直线PA：424)(22112111xxxxxxxy，直线PB：424)(22222222xxxxxxxy两式相减得)2(244202121212221xxxxxxxxxx∵21xx，∴0221xx，0221xxx∴2210xxx，∴0212xxx将P（0x，0x-2）带入PA：42211xxxy得4422221212110xxxxxxx∴84021xxx∴2428168482)(8020020212212221xxxxxxxxxx∴A、B中点坐标为M（0x，242020xx）∴直线AB的斜率24)(4021122122xxxxxxxkAB故直线AB的方程为22242)(20002000xxxxxxxxy．（3）由于A点到焦点F的距离等于A点到准线y=-1的距离，∴|AF|=1421x，|BF|=1422x29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221xxxxxxxxxxxxBFAF∴当230x时，BFAF取最小值29．21．（1）k=1时2)1()(xexxfx∴)2(2)1()(xxxexxexexf当x0时02xe，故0)2()(xexxf,)(xf单调递增；0xln2时02xe，故0)2()(xexxf，)(xf单调递减；xln2时02xe，故0)2()(xexxf，)(xf单调递增；综上，)(xf的单调增区间为)0,(和),2(ln，单调减区间为)2ln,0(．（2）)2(2)1()(kexkxexexfxxx∵121k，∴221k由（1）可知)(xf的在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增设)121(，2ln)(xxxx