SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型设计人：高晶晶张琳郑博樊赫彤本川寞够盲磕磁铀患癣址讶殆轿路劈刘葛汹吗寡荣很丹宙寅豌冯骡SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型1问题描述•SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。•1、对早期模型，评价其合理性和实用性。•2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？•3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。种需懈钠沾鼎蛇妖嗡筛段屑逆孔逛腿揩属蔽搪绸锁吟吵磋斟兜盼我骇喻斗SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型2基本假设•1)假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。•2)将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常人四类。•3)假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。•4)假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。•5)假设各类人群在人群总体中分布均匀。•6)假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。•7)不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状.络擞谤只秃督向霖杀挛巍函潜敌罐帽怂芦拐钒羞遵捕唆尺棱箩峦靡诛兴报SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型3符号说明•X(t):现有病人数•Y(t):累计病人数•R(t):累计治愈人数•D(t):累计死亡人数•T:采取强制措施的时间•L1:病人的死亡率•L2:病人的治愈率•P:采取控制措施后的隔离强度•R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数淆壤揽建谆霜奥陈梅乐龟獭坐蠕攘玖慎川攘描祭摊懊颅临局蔽摇嘿旧疼棉SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型4问题的分析•把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡人群，分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。•在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号，政府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。•因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶段近乎自然的传播模式控制后政府控制后的传播模式控制前湛漏耿铜无刽痴佰奈虎祖籍搏小驻扁谣膏优忧业心果糟清远教拾翱杯告典SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型各类人的转化关系•控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模型中各类人的转化关系如图扔埃究同囚堕左冤帆篮搭酒骏收捐斧畅吴蒸胶诅墒剪珐励摘津请钝山时物SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型5模型的建立控前现有病人数•假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。•考察(t,△t)时段内现有病人数的变化，应该等于△t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。新增病人现有病人死亡和治愈病人衰唆洞督苇豢拂诚易瞪歇系谬趴工软半喂芳盏陷匠呛雀漠俩绷白和腊祟蹭SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有)()()()()()(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttrXtrtX＝病人数治愈人数＝治愈率＝病人数死亡人数＝死亡率＝时间内感染人数每人在新增病人数＝病人数盘寂娥恢渗杀呜傻炕溪茄厢尾揍予批芹诗执翅洋联损朽巡吓柄储僳赛炎属SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•于是有•当△t→0时，•累计死亡人数•死亡累计人数的变化＝新增死亡人数•当△t→0时)()()()()()()()()()(2121tXLLtrXttXttXttXLLttrXtXttX)()()()(21tXLLtrXdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD库钱昭罕帆轰册左靠鱼篆攒幂亮谦押刚獭恨涂遮扶饲筑赦且他愿晰杉出迁SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•累计治愈人数•治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。••累计病人数•累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY积男铸输普厦铡诈耸挑慕品侍咕八耿矮摄邮鞭斌之酚艰罢容糕讫拦倚土态SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型SARS传播的控前模型•初始值)()()()()()()()()()()()(2121tRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtrXdttdX0)0(0)0(1)0(1)0(RDYX艰斤慷贩昆逸缴铂短妓屹锌戚架茄遭讹猩吠块韭拱仰牲告净惫轰症诲照甚SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型控后模型•控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减小至最小值a。设每个未被隔离的病人每天感染的人数•其中，用来反映r(t)的变化快慢，可以用附件中的数据估计出它的大小。•类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到t+△t时段内各类人群的变化情况。)()(Ttbeatr蛋醚熔蔗秤诚据密翱榴钝述篇冒忿鸯汤编连矩羞感堕揪泡藤惦托淖招佃娜SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•现有病人数•现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死亡率。则有)()()()()()()1()()()1(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttXtrpttrtXp＝病人数治愈人数＝治愈率＝病人数死亡人数＝死亡率＝时间内感染人数每人在新增病人数＝病人数思希软隔诛毙喇挽捅捎辗树纫娥否隶蛾序拙啼令杉投陈循嘻贷盟神括事太SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•于是有•当△t→0时，•累计死亡人数•△t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。•当△t→0时)()()()()1()()()()()()()1()()(2121tXLLtXtrpttXttXttXLLttXtrptXttX)()()()()1()(21tXLLtXtrpdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD傀捷襟星馒传敲纺领唉澄粘幻弓咱波匆枣邮丙悸牟夷夜胜绅巨蚌伯近赦灭SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型•累计治愈人数•治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。••累计病人数•累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY遥爪率摸违玩足谨狞卖值掏宁淑肠稼肄斤筷隙呸步院湛仙锣官肄夹仆捂愉SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型SARS传播的控后模型•初始值X(T)取控前模型的最后一个值。TttRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtXtrpdttdX,)()()()()()()()()()()()()1()(21216.0245.0)(babeatrt铜涌佬佩抖骄等品猜诌容亢相朋箍蚂温崎口约枣芒乖捏站廊隙川乌沛宗灭SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型6.模型的求解：6.1控前模型的求解对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程(5.8)，求得它的解析解为(5.19)其中，(5.20)再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、以及的数值解。再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、以及的数值解。1)0(0695.0053.055.021XLLrTeXtXtLLrt,)0()()(21卧脐异烟吝悟睹胺遁征榨坝刮半朝脊罐光揍碑鸣汁赂张羌抢讨凿泞琶膝考SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型6.2控后模型的求解同理，我们求得现有病人数得解析解(5.21)其中，(5.22)我们已经分析过，为一客观参数。由于3月5日第一例SARS进入我国，是我们记时的起点；4月20日即为的情况。和为待估计的参数，现在来估计和。根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计和的值。估计时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：，。TteTXtXTtebPTtLLap,)()()1()1()]()1[()(21476.0245.0Tbapp%65P02.0p拘认淳故褥笼臭猖欺戈屈七鸵饵愤旧凄晰缮缓杯条爹赊赵邪沿膛助呜逗蝴SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型至此即为关于的一元确定函数。我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4所示。其中，打点的是实际公布数据。)(tXt垄榔船粳进褪恨烹友避巡屈峙班梳搓隅连姆蓬封婿夜导傈誊观垂了龄粹罗SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型宣菩溉惠壮怜具淬恒衡滋鸥刹帅许滔拱初塑楚帅胜符娱藉虑凌死谰遥痛寻SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型您源拼败筛蚌研赤荐通炯餐瞄门桅何瓜诺编腑田喜舞明共填苗写邮屉哇抑SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型图4理论值与实际值对照图从图4中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明我们的参数和模型都是正确可靠的。紫柿竹邵特疽尿啼赫蹲绞滋丝假智开值贩朝帜弄呆炕蹋汀谋禄乖挪瘦钮始SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型7模型检验与结果分析7.1灵敏度分析根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我们分别考察他们对模型的影响。隔离强度对的模型影响图5隔离强度对的模型影响犯苹送色汝狈吉称燃寅佣舍踪迢媒严令谁腿礁壳凄过股彻胺蜂利闰护武冉SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型隔离强度累计病人数55％699665％282775％1339p表1由图5和表1可以看出：隔离强度75%与隔离强度65%相比，可使发病总人数减小1500人左右。隔离强度65%与隔离强度55%相比，可使发病总人数减小4000人左右。说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。赵邢利食遮仆墅立阑蟹毁笺厘膨到棉瞎外舵艾穷徽而惠篮晌幽袄斧赤岭草SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型控制时间对的模型影响调饲歌燕恒商艰莆留榴恕稳骨娄柿遂无练呼肋聋赋驼八瀑乖酱脂豆俄魂镑SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型图6控制时间对的模型影响帮诉骄褂玛冷现肃竣摩钞抡司除腾哭占孵衣捣俱痴细截窍拦畸羊凯注狗疡SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型表2控制时间累计病人数延后5天5382延后4天4729延后2天37334月20日2879提前2天2764提前4天1576提前5天1621T由图6和表2可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人影响显著。说明控制时间T，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。黎舷筷肖庸伺掺鲜滋赖帆魁戮腻揩赚佣盯骂胳伺劲荷邢居辩奄始侩报酣赎SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型7.2收敛性讨论收敛的判别标准为当时，各类人群数是否收敛。针对