高中数学必修四第二章-向量-基础知识及应用

本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原向量基础知识及应用（一）基本知识：1.向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2.向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；3.实数与向量的积λa.向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa。4.向量a和b的数量积：a·b=|a|·|b|cos，其中为a和b的夹角。向量b在a上的投影：|b|cos，其中为a和b的夹角a⊥ba·b=05.向量的坐标表示:yxjyixA，0;若向量yxa，，则|22|yxa；若P1（1x，1y）、P2（2x，2y），则121221yyxxPP，;|21PP|=212212)()(yyxx6.向量的坐标运算及重要结论：若a=（1x，1y）,b=（2x，2y）,则①2121yyxxba，②2121yyxxba，③11yxa，④yyxxba121⑤0//1221yxyxba⑥ba1x2x+1y2y=0⑦cos=222221212121yxyxyyxx（为向量的夹角）7.点P分有向线段21PP所成的比的：21PPPP，或21PPPPP内分线段21PP时,0;P外分线段21PP时,0.本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原8.定比分点坐标公式：112121yyyxxx1，中点坐标公式：222121yyyxxx9.三角形重心公式及推导（见课本例2）：三角形重心公式：)3,3(321321yyyxxx10.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量a平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式：kyyhxx``或kyyhxx``平移向量a=`PP=（h，k）(二)应用：1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量321,,OPOPOP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，求证：321PPP是正三角形解：令O为坐标原点，可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP由321OPOPOP，即332211sincossin,cossin,cos321321sinsinsincoscoscos两式平方和为11cos2121，21cos21，由此可知21的最小正角为0120，即1OP与2OP的夹角为0120，同理可得1OP与3OP的夹角为0120，2OP与3OP的夹角为0120，这说明321,,PPP三点均匀分部在一个单位圆上，所以321PPP为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设aBaA2,0,0,2，则aCaD,0,0,，从而可求：aaBDaaAC2,,,2,aaaaaaBDACBDAC552,,2cos=545422aa.54arccos.2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题①②本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原例3已知ABC，AD为中线，求证2222221BCACABAD证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系，设0,,,cCbaA，0,2cD，则222222402baaccbacAD，222221BCACAB.=442122222222cacbacbacba，从而2AD222221BCACAB，2222221BCACABAD.3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4已知点O是，，内的一点，0090BOC150AOBABC,,,OAcOCbOBa设且,3,1,2cba试用.,cba表示和解：以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，0120AOx，所以,31-A,120sin2,120cos200，即A，易求3,0C1-0B，，，设.31-3--331-3,01-031-,OA21122121，，，，即OCOBcba313.例5如图，，的夹角为与，的夹角为与5OC,30OAOC120OB,100OAOBOA用OBOA，表示.OC解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则0,1A，，，即，所以由25235C,30sin5,5cos30C30COA00023,21B同理可求23,21-0125235,OC2121，，即OBOA本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原.3353310232521-23521221，OBOAOC3353310.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点[分析]如图，已知ABC中，由ACBEBCAD,，,HBEAD要证明,ABCH利用向量法证明ABCH，只要证得0ABCH即可；证明中，要充分利用好0BCAH，0CABH这两个条件.证明：HBCAD,在AD上，0BCAH而CACHAH，0)(BCCACH，即0BCCABCCH①又CBCHBHACBH,，0ACBH即0)(ACCBCH0ACCBACCH②①-②得：0ACCHBCCH，即0ACBCCH从而0BACH，ABCH，ABCH.5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7求平面内两点),(),,(2211yxByxA间的距离公式[分析]已知点),(),,(2211yxByxA求BA,两点间的距离|,|AB这时，我们就可以构造出向量AB，那么),,(1212yyxxAB而||||ABAB，根据向量模的公式得212212)()(||yyxxAB，从而求得平面内两点间的距离公式为212212)()(||yyxxAB.解：设点),(),,(2211yxByxA，),(1212yyxxAB212212)()(||yyxxAB,而||||ABAB点A与点B之间的距离为：212212)()(||yyxxAB6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8证明:sinsincoscos)cos([分析]如图，在单位圆上任取两点BA,,以Ox为始边，OBOA,为终边的角分别为,，设出BA,两点的坐标，即得到OBOA,的坐标，则为向量OBOA,的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.证明：在单位圆O上任取两点BA,，以Ox为始边，以OBOA,为终边的角分别为,，则A点坐标为),sin,(cosB点坐标为)sin,(cos；则向量OA),sin,(cosOB)sin,(cos，它们的夹角为，本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原,1||||OBOAsinsincoscosOBOA,由向量夹角公式得：||||)cos(OBOAOBOAsinsincoscos,从而得证.注：用同样的方法可证明)cos(sinsincoscos7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9证明柯西不等式2212122222121)()()(yyxxyxyx证明：令),(),,(2211yxbyxa（1）当0a或0b时，02121yyxxba，结论显然成立；（2）当0a且0b时，令为ba,的夹角，则],0[cos||||2121bayyxxba.又1|cos|||||||baba（当且仅当ba//时等号成立）222221212121||yxyxyyxx2212122222121)()()(yyxxyxyx.（当且仅当2211yxyx时等号成立）例10求xxxxy22cos3cossin2sin的最值解：原函数可变为xxy2cos2sin2，所以只须求xxy2cos2sin的最值即可，构造1,1,2cos,2sinbxxa，那么22cos2sinbabaxx.故22,22minmaxyy.