空间向量及其加减与数乘运算

复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD这是什么?向量2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba(k0)ka(k0)k向量的数乘a3、平面向量的加法、减法与数乘运算律bkakbakcbacbaabba＋)()()(加法交换律：加法结合律：数乘分配律：OABC正东正北向上如图:已知OA=6米,AB=6米,BC=3米,那么OC=?问题1:问题2:F3F3=15N已知F1=10N,F2=15N，F1F2这三个力两两之间的夹角都为90度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量空间向量的有关概念：空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.常用、、abc……等小写字母来表示.abc1.向量a的大小叫做向量的长度或模,记为a.2.可用一条有向线段AB来表示向量,向量AB的模又记为AB就是线段AB的长度.AB起点终点类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定:零向量、单位向量、相等向量、相反向量.(看书本85页.)平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法减法:三角形法则或平行四边形法则加法:三角形法则或平行四边形法则bkakbak＋)()()(cbacbaabba空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律平面向量的加法、减法运算图示意义:向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则ab减向量终点指向被减向量终点ababab+OABbCOBOAABCAOAOC空间向量的加减法ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak＋)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？abcOBCabcOBCbc+(平面向量)向量加法结合律在空间中仍成立吗?AA(a+b)+c=a+(b+c)abcOABCabcOABCbc+(空间向量)(a+b)+c=a+(b+c)向量加法结合律：推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn数乘空间向量的运算法则例如:a3a3a与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量.|a|=||*|a|⑴当0时,a与向量a的方向相同;⑵当0时,a与向量a的方向相反;⑶当0时,a是零向量.定义:我们知道平面向量还有数乘运算.类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）其中、是实数。acb定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)思考⑴:对空间任意两个向量a与b,如果ab,那么a与b有什么关系?反过来呢?类似于平面,对于空间任意两个向量a,b(0b),a//b存在R,ab.例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCABABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-A1B1C1D1例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCAB;)1(ACBCAB＝解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF3例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111)1(解.11111xACCCCBAB111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112)2(BDAD111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD1AC1112)2(ACxBDAD.1x111)3(ACxADABAC例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111)3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC111)3(ACxADABAC.2x平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak＋)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak＋)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零ABMCGD)(21)2()(21)1(ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABMCGD)(21)2()(21)1(ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式＝)1()(21ACABMGBMAB＝(2)原式)(21ACABMGBM＝MGMBMGBM＝练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABCDDCBA)()1(''CCBCABxACADyABxAAAE')2(练习2在立方体AC1中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x,y.EABCDDCBA)()1(''CCBCABxACADyABxAAAE')2(练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x,y.ABCDDCBAADyABxAAAE')2(练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’的中心,求下列各式中的x,y.作业.,CDc,b,acADbaBDACBCABABCD，来表示试用，，＝，中，空间四边形如图,已知空间四边形ABCD中,向量ABa,ACb,ADc,若M为BC的中点,G为BCD△的重心,试用abc、、表示下列向量:⑴DM⑵AGAMCGDB1)2abc（1)3abc（