导数证明不等式---泰勒公式来变形

1导数证明不等式泰勒公式来变形阅读提示：用导数证明不等式是高中数学的难点热点问题，题型多，方法活，而其中很重要的一类不等式是与泰勒公式及其变形有关.本文以2018年全国Ⅰ卷文21题为例，探寻解题思想，发现试题背景.并通过引入参数，对试题变形，得到一系列变式问题，真正达到举一反三的目的.试题呈现例(2018年全国Ⅰ卷文21)已知函数eln1xfxax．(Ⅰ)设2x是fx的极值点，求a，并求fx的单调区间；(Ⅱ)证明：当1ea时，0fx．解法分析(Ⅰ)略(Ⅱ)思路1：要证：当1ea时，0fx，需要证明：当1ea时，0)(minxf，所以转化为求fx的最小值.解法1：1=exfxax，fx是增函数，当1ea时，1=e10fa，1ln111ln=e101lnlnafaaaa,则fx在1(ln,1)a上存在唯一实数解，不妨设为0x，则01e=0xax，当01(ln,)xxa时，00fx，fx在01(ln,)xa上是减函数，当0(1)，xx时，0fx，fx在0(1)，x上是增函数，所以当0xx时，000min()eln1xfxfxax,又001exax，两边取对数，得00lnlnaxx，即00lnlnxax，0000min0011=eln1=ln12ln10xfxaxxaxaxx当1ea时，1=0f，当(0,1)x时，00fx，fx在(0,1)上是减函数，当(1+)，x时，0fx，fx在(1+)，上是增函数，所以当1x时，min0fx，综上，当1ea时，0fx思路2：主参分离，不等式0fx等价转化成一个新的不等式.解法2：ln10eln10exxxfxaxa设ln1exxhx，则1ln1exxxhx2令1ln1txxx，则221110xtxxxx，tx是减函数，且1=1t，当(01)，x时，0tx0hx，hx是增函数，当(1+)，x时，0tx0hx，hx是减函数，当1x时，e1)1()(maxhxh，又1ea，所以ln1exxa，即0fx.思路3：要证明：当1ae时，0fx．此时)(xf中含两个变量，想法消掉一个变量，由条件1ea利用不等式的传递性，可以把a消掉，可得e()ln1exfxx,这样就变成单变量问题.接下来证明eln10exx即可.解法3：当e1a时，e()ln1exfxx构造函数1lnee)(xxgx，则1()xegxex.当01x时，()0gx；当1x时，()0gx.所以1x是()gx的最小值点.故当0x时，()(1)0gxg.因此，当1ea时，()0fx.思路4：由泰勒公式变形得到的不等式，结合不等式的传递性证明.解法4：接方法三，证明eln10exx即可，由泰勒公式的变形，可得e1xx.用1x代替x可得：1exx.①对e1xx两边取然对数，可得ln(1)xx，用1x代替x，可得1lnxx，即ln+1xx.②由①②可得xx1e1lnx，故eln10exx，因此，当1ea时，()0fx.解法赏析：解法1是不等式证明的最基本的方法，转化成求函数的最值，但需要用隐零点的方法，即只设不解，整体代换.确定隐零点的区间是关键。解法2是利用不等式转化法，主参分离等价转成求函数ln1exxhx的最大值问题。解法3是通过放缩消元，把a缩小成1e，即利用的不等式的传递性转化成只含变量x不等式证明题。这样的放缩方法在不等式证明题中经常使用，带有一定的技巧性。方法4最精妙，常用的不等式e1xx，本质上是泰勒公式的变形，通过不等式的传递性巧妙得证.本题的四种方法是利用导数证明不等式常用方法.试题背景：本题的背景是泰勒展开式，对于函数(x)exf在=0x处的泰勒展开式如下：323e=1++++++12!3!!！nxxxxxnLL①上式也叫ex的麦克劳林公式，从此式出发，可以演绎出一些十分重要的不等式.①式等号右边取两项，则有e1xx()xR②②式两边取自然对数，得ln(1)xx(1)x③②式中用x替换x，得e1xx1e1xx(1)x④④式两边取自然对数，得ln(1)(1)xxx⑤⑤式中用1xx替换x，得ln(1)ln(1x)(x1)1+1xxxx⑥结合③式和⑥式，得ln(1x)(x1)1+xxx⑦对①式等号右边取三项，四项，则有2e12xxx(0)x⑧32e162xxxx(0)x⑨上述不等式②到⑨式，当且仅当0x时取等号引申变形变式1设(x)exfxa，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式2设(x)e1xfax，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式3设(x)e1xfax，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式4设(x)lnfxxa，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式5设(x)ln1fxax，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式6设(x)ln1faxx(1)x，若对于任意xR，(x)0f恒成立，求参数a的取值范围.答案：1a变式7设函数(x)1exfa．证明：当1x时，(x)1xfx；证明：当1x时，由e10xx，两边取倒数可得1e1+xx，从而11e11xx，即1e1xxx，故当1x时，(x)1xfx变式8已知函数ln(1)(x)1+xfxx(1)x，求函数(x)f的最小值.4解：因为ln(1)xx，所以当1x时，ln(1)1+1xxxx所以ln(1)11(1)22(1)201+111+xxxxxxxxxxln(1)(x)01+xfxx，等号当且仅当0x时取得，所以(x)f的最小值是0题后反思：数学家波利亚曾形象地说：好问题同某种蘑菇有些相像，它们成堆生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有几个。我们通过对泰勒公式的研究，得到e1xx的背景。对此不等式恒等变形及x未知数用不同的表达式替换，又形成了一系列不等式，这是不等式中的宝贵财富。然后在不等式不同位置添加参数，又变式出8道数学题，真可谓硕果累累。练习：1.（2010年全国）设函数2(x)e1xfxax．（1）若0a，求fx的单调区间；（2）若0x时，0fx，求a的取值范围．2.（2013年辽宁）已知函数xxxf2e)1()(，当0,1x时，求证：111xfxx．3.【2016新课标3文】设函数()ln1fxxx．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）证明当(1,)x时，11lnxxx；答案：1.（1）0a时，(x)e1xfx，(x)e1xf.当(,0)x时，'()0fx；当(0,)x时，'()0fx.故()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增．（2）(x)e12xfax，由（1）知e1+xx，当且仅当0x时等号成立.故'()2(12)fxxaxax，从而当120a，即12a时，'()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0x时，()0fx.由e1+(0)xxx可得e1(0)xxx，即e1(0)xxx.从而当12a时，'()e12(e1)e(e1)(e2)xxxxxfxaax，故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx.综上可得a的取值范围为1(,]2.2.证明：要证0,1x时,21e1≥xxx，只需证明1e1e≥xxxx.记1e1exxhxxx,则eexxhxx，当0,1x时，0hx，因此hx在0,1上是增函数，故00≥hxh．所以1≥fxx，0,1x．要证0,1x时,211e1≤xxx，只需证明e1≥xx．5记e1xKxx，则e1xKx，当0,1x时,0Kx，因此Kx在0,1上是增函数，故00≥KxK.所以11≤fxx，0,1x综上，111≤≤xfxx,0,1x．3.（Ⅰ）由题设，()fx的定义域为(0,)，1()1fxx，令()0fx，解得1x.当01x时，()0fx，()fx单调递增；当1x时，()0fx，()fx单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在1x处取得最大值，最大值为(1)0f.所以当1x时，ln1xx.故当(1,)x时，ln1xx，11ln1xx，即11lnxxx.