高中数学知识要点重温之(16)双曲线及其性质doc

2011届高三数学精品复习之双曲线及其性质1．方程122nymx表示双曲线mn0，双曲线的焦点位置取决于m,n的正负：若m0,n0，双曲线的标准方程是：122nymx，a2=m,b2=-n,焦点在x轴上；若m0,n0，双曲线的标准方程是：122mxny，a2=n,b2=-m，焦点在y轴上。[举例]已知k是常数，若双曲线1||2522kykx的焦距与k的取值无关，则k的取值范围是：（）A．-2k≤2B．k5C．-2k≤0D．0≤k2解析：方程表示双曲线(k-5)(2-|k|)0-2k≤0或0k2或k5；当-2k≤0时，方程为：15222kxky，a2=2+k，b2=5-k，则c2=7与k无关；当0k2时，方程为：15222kxky，a2=2-k，b2=5-k，则c2=7-2k与k有关；当k5时，方程为：12522kykx，a2=k-5，b2=k-2，则c2=2k-7，与k有关；故选C。[巩固1]若112||22kykx表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是。[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK][巩固2]双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则mA．14B．4C．4D．142．双曲线12222byax关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是双曲线上一点，则|x|≥a,y∈R，双曲线的焦准距为cb2，双曲线的通经（过焦点且垂直于实轴的弦）长为2ab2；过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为xy；反比例函数xky的图象是一个经过旋转的等轴双曲线，渐近线为两坐标轴，对称轴为直线xy。[举例1]双曲线12222byax的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|≥23|AF|时，||||OAHF的最大值为。解析：|HF|=cb2，|AF|=c-a,∴cb2≥23(c-a)cac≥23c≤2ae≤2||||OAHF=acb2=e-e1,记f(e)=e-e1,函数f(e)在（1，2]上递增，∴f(e)≤f(2)=23.[举例2]已知函数xy1的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为．解析：双曲线xy1的实轴所在的直线为y=x，实轴与双曲线的交点即顶点为A1（1，1）和A2（-1，-1），2a=|A1A2|=22,此即“定长”。注：我们可以再由等轴双曲线的性质得：c=2,[来源:学&科&网]进而得该双曲线的焦点坐标为（-2，-2），（2，2）。[巩固1]双曲线12222byax的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且FBFA=0，那么双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．332[巩固2]过双曲线2x2-y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条。[迁移]已知双曲线1422yx的实轴A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线左顶点A1，则直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为。3.熟悉双曲线的渐近线的几何特征（无限接近双曲线但与双曲线不相交）和代数特征（渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”）；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切（体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程）。已知渐近线方程为：kxy，则双曲线方程为：222yxk，其中是待定的参数（渐近线不能唯一地确定双曲线）。双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b。[举例1]双曲线0122ytx的一条渐近线与直线012yx垂直，则双曲线的离心率为：A．5B．25C．23D．3（）解析：双曲线0122ytx的渐近线方程为：022ytx即y=±tx，（t≥0）∴t=21，双曲线方程为：1422yx，离心率为25，选B。[举例2]已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,)（D）(2,)[来源:Zxxk.Com]解析：根据双曲线的图形特点知，双曲线渐近线的倾角大于或等于600时，过焦点且倾斜角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，于是有ab≥3c2-a2≥3a2,得e≥2。[巩固1]与双曲线116922yx有共同渐近线，且过)23,3(A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：（）A．42B．22C．423D．2[来源:学科网][巩固2]曲线C：x2-y2=1,(x≤0)上一点P（a,b）到它的一条斜率为正的渐近线的距离为它的离心率，则a+b的值是；曲线C的左焦点为F，M（x,y）(y≤0)是曲线C上的动点，则直线MF的倾角的范围是.[迁移]曲线C：21yx与直线y=kx+1有两个不同的公共点，则k的取值范围是。4．研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。[举例1]已知向量a=(5x,62y),b=(5x,-62y)，双曲线a·b=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|=[来源:学科网]A．21B．211C．221D．21或221[来源:Zxxk.Com]解析：双曲线方程为：1242522yx，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12，∴M是双曲线右支上的点，记左焦点为F/，则|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在⊿MFF/中，ON中位线，∴|ON|=221，故选C。注：本题中，若将M到F(7,0)的距离换为13，将有两种情况（M可能在双曲线的右支上，也可能在左支上）。[举例2]设双曲线12222byax（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（）A．椭圆的一部分；B．双曲线的一部分；[来源:学科网]C．抛物线的一部分；D．圆的一部分解析：不妨设Q在双曲线的右支，延长F2M交QF1于P，[来源:Zxxk.Com]XYF1F2QMPO在⊿QF1F2中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF2|，又|QF1|-|QF2|=2a，∴|QF1|-|QP|=2a即|PF1|=2a，在⊿PF1F2中，MO是中位线，∴|MO|=a,∴M点轨迹是圆的一部分，选D。[巩固1]已知点P在双曲线的左支上，点M在其右准线上，F1是双曲线的左焦点，且满足：PMFO，||||OMOPOMOP=||||11OPOFOPOF，则此双曲线的离心率为。[巩固2]F1，F2分别为双曲线12222byax（a0,b0）左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若||||122PFPF最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是。[迁移]P是双曲线116922yx的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。[举例1]双曲线)1(,122nynx的两焦点为F1、、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=22n，则⊿PF1F2的面积为（）A．21B．1C．2D．4解析：不妨设F1、、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|=2n①|PF1|+|PF2|=22n②，由①②解得：|PF1|=2n+n，|PF2|=2n-n，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，选B。[举例2]等轴双曲线x2-y2=a2,(a0)上有一点P到中心的距离为3，那么点P到双曲线两个焦点的距离之积等于。解析：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得：[来源:学#科#网Z#X#X#K]2（|PF1|2+|PF2|2）=36+4c2,又c2=2a2，得|PF1|2+|PF2|2=18+4a2①，而||PF1|-|PF2||=2a②由①-②2得：|PF1||PF2|=9。[来源:学科网][巩固1]已知椭圆1162522yx与双曲线12222nymx（m0,n0）具有相同的焦点F1，F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=900，则双曲线的离心率为。[巩固2]双曲线116922yx两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为,3则△PF1F2面积为：A．163B．323C．32D．42[提高]设双曲线12222byax（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，则⊿PF1F2的内心的横坐标为（）A．aB．cC．ca2D．与P点的位置有关答案1、[巩固1]（1，+），[巩固2]A；2、[巩固1]A，[巩固2]3，[迁移]55；3、[巩固1]C，[来源:学|科|网][巩固2]-21，（],4∪{0}，[迁移]（-2，-1）；4、[巩固1]2，[巩固2]（1，3]，[迁移]D；5、[巩固1]35，[巩固2]A，[提高]记△PF1F2的内切圆圆心为C，边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D，易见C、D横坐标相等，|PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，由|PF1|-|PF2|=2a，即：|PM|+|MF1|-(|PN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2a即|F1D|-|F2D|=2a，记C的横坐标为x0,则D（x0,0）,于是：x0+c-（c-x0）=2a,得x0=a，故选A。