二次函数解析式求法和图象与系数关系举例

二次函数解析式求法和图象与系数关系举例1/11二次函数解析式求法及图象与系数关系举例1.已知二次函数2(0)yaxbxca中自变量x和函数y的部分对应值如下表X…32-112012132…y…54-294-254074…求该二次函数的解析式；[解1]：观察所给的表格此函数图象关于x=12对称，它的顶点坐标是（12，94）所以不妨设二次函数解析式为219()24yax又因为当x=0时y=-2所以有2192(0)24aa=1所以此二次函数的解析式为219()24yx[解2]设此二次函数解析式为2(0)yaxbxca当x=0时，y=-2;当x=-1时，y=-2;当x=1时，y=0;可以列出如下方程：2222(1)(1)011200abcabcabc解之得：a=1,b=1,c=-2所以此二次函数的解析式为22yxx;2.已知抛物线2(0)yaxbxca关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为-2，且抛物线与y轴交于点（0,1），求这个二次函数的解析式；[解1]：因为抛物线2(0)yaxbxca关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为-1，可知此抛物线的顶点坐标是（1，-2）所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2yax；又抛物线与y轴交于（0，1）所以有21(01)2aa=3二次函数解析式求法和图象与系数关系举例2/11所以抛物线的解析式为：23(1)2yx[解2]依题意有：12ba①2424acba②2001abc③联立①②③解之得a=3b=-6c=1所以此抛物线的解析式是：2361yxx3.已知当x=1时，二次函数的最大值为2，且过点（2，-3），求此二次函数的解析式；[解1]：依题意设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca当x=1时2112yabc①2424baca②2322abc③解之得a=-5b=10c=-3所以抛物线的解析式是：25103yxx[解2]依题意抛物线的顶点坐标是（1,2）所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2yax有抛物线过（2，-3）所以23(21)2a解之得a=-5所以抛物线的解析式为25(1)2yx4.抛物线2yxbxc的图象如图所示，求抛物线的解析式[解1]从抛物线图象可知:图象关于x=1对称，与x轴相交于两点（1x，0），（3,0），这两点也关于x=1对称；所以有：1312x1x=-1所以可以设抛物线解析式为(1)(3)yaxx而点（0,3）在抛物线上，所以3(01)(03)aa=-1因此，抛物线的解析式是(1)(3)yxx223yxx即223yxx1x33xy0二次函数解析式求法和图象与系数关系举例3/11[解2]：从抛物线图象可知12(1)b①2300bc②解之得b=2,c=3因此，抛物线的解析式是:223yxx5．二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，求m的值并写出抛物线的解析式；x...﹣2﹣101234...y...72﹣1﹣2m27...[解1]：根据二次函数的对称性可以知道：m=-1;函数对应图象的对称轴为x=1，且当x=1时，y=-2;所以不妨设二次函数的解析式为：2(1)2yax当x=0时，y=-1;即21(01)2aa=1所以此二次函数为2(1)2yx[解2]：因为当x=-1,0,1时，y=2，-1，-2；所以把相应值代入得到一个三元一次方程组，解之得a=1,b=-2,c=-1;6.抛物线y=-x2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，求所得图象的解析式。再把所得的解析式向左平移5个单位，向上平移4个单位，求所得抛物线解析式；[解]211yabc2(2)3yx2(25)34yx7将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式。[解]将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°就是求原抛物线过原顶点垂直对称轴的对称图形；所以先要对原抛物线配方得：22(3)2yx所以所得抛物线的解析式是22(3)2yx；二次函数解析式求法和图象与系数关系举例4/11练习：1.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…求抛物线的解析式。2.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，求原二次函数解析式。3.如图A（﹣1，m）、B（n，﹣3）两点是一次函数y2=﹣x-1与二次函数y1=ax2+bx﹣3图象的交点．（1）求m、n的值和二次函数的解析式．（3）说出所求的抛物线y1=ax2+bx﹣3可由抛物线y=x2如何平移得到？4.已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．且该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式．5.已知二次函数212yxbxc的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．求这个二次函数的解析式．6.已知二次函数2(0)yaxbxca的对称轴为1x，且图象经过A（-1,0），B（0，-3）两点。求二次函数的解析式。7.已知抛物线上有三点A（0,3），B（1,6），C（-1,2）求此抛物线的解析式。二次函数解析式求法和图象与系数关系举例5/118.若抛物线2yaxxc与x轴交点的横坐标为-1，与y轴交点的纵坐标为2；求抛物线的解析式；9.抛物线2(0)yaxbxca与x轴交于两点A、B,且A（2,0），B（-4.0），与y轴交点的纵坐标是5；求抛物线的解析式；10.抛物线2(0)yaxbxca过两点A、B,且A（2,5），B（-4.5），与y轴交点的纵坐标是-3；求抛物线的解析式；【例题1】.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示。下列说法正确的是（D）Aa＞0;BC＜0;C24bac＜0;Da+b+c＞0[分析]：从图象上可以看出：抛物线与x轴有两个交点所以2b4ac△﹥0；因为抛物线开口向下，所以a＜0;抛物线与y轴交于y轴正半轴，所以c＞0;对称轴在y轴右边，所以2bxa＞0，a＜0,所以b＞0；（a、b异号，对称轴在y轴右边，a、b同号，对称轴在y轴左边）；***又因为1＜3，当0＜x＜3时，函数y由+变到0；所以当x=1时，函数y＞0,即211yabc＞0；【例题2】已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，且关于x的一元二次方程20axbxcm没有实数根，有下列结论：①240bac；②0abc；③2m.其中，正确结论的个数是（D）（A）0（B）1（C）2（D）3xyx223yaxx30Oyx2二次函数解析式求法和图象与系数关系举例6/11[分析]从图象上可以看出：抛物线与x轴有两个交点所以2b4ac△﹥0；因为抛物线开口向下，所以a＜0;抛物线与y轴交于y轴正半轴，所以c＞0;对称轴在y轴右边，所以2bxa＞0，a＜0,所以b＞0；（a、b异号，对称轴在y轴右边，a、b同号，对称轴在y轴左边）；***方程20axbxcm可以看成抛物线2(0)yaxbxca与直线y=m相交的情况；从图象可以知道，当m=2,抛物线与直线有一个（或两个重合的）交点；当m＜2,抛物线与直线有两个交点；当m＞2,抛物线与直线没有交点；（对应方程有无实根情况）练习：1.（3分）（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）2.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（）A1B2C3D43.（2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b2aD．ac0x…-3-2-101…y…-60466…二次函数解析式求法和图象与系数关系举例7/114.（2011山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353则当x=1时，y的值为A.5B.-3C.-13D.-275.（2011山东威海，7，3分）二次函数223yxx的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞36.（2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h【答案】A7.（2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值二次函数解析式求法和图象与系数关系举例8/118．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A．a0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c09.（2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数cbxaxy2的图形，且此图形通（－1,1）、（2,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A．y的最大值小于0B．当x＝0时，y的值大于1C．当x＝1时，y的值大于1D．当x＝3时，y的值小于010.（2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221yxx的顶点坐标是A．（1，0）B．（－1，0）C．（－2，1）D．（2，－1）11.（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240bac；（2）c1；（3）2a－b0；（4）a+b+c0。你认为其中错误．．的有A．2个B．3个C．4个D．1个12.（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根xy-11O1二次函数解析式求法和图象与系数关系举例9/1113.（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数2yaxbxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x……01234……y……41014……点A（1x，1y）、B（2x，2y）在函数的图象上，则当112,x234x时，1y与2y的大小关系正确的是A．12yyB．12yyC．12yyD．12yy14.（2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）15.（2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程20(0)axbxca的两个实数根1x、2x满足124xx和123xx，那么二次函数2(0)yaxbxca的图象有可能是（）16．（2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1yxm．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）二次函数解析式求法和图象与系数关系举例10/11A．m=lB．mlC．m≥lD．m≤l17.（2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？