概率公式

1随机事件及其概率排列组合公式!()!nmmPmn从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!(!!nmnmCnm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：mn某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由mn种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mn种方法来完成。事件的关系与运算①关系：BA：A发生必有事件B发生；AB：BA且AB;ABAB：A和B至少有一个发生的事件；ABAB：A和B同时发生的事件；AB:A发生，B不发生的事件；AB：A和B互斥事件；A:A的对立事件；②运算：结合率、分配率、德摩根率概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数()PA，若满足下列三个条件：1°0()1PA2°()1P3°对于两两互不相容的事件12,,AA有11()()iiiiPAPA（可列可加性）则称()PA为事件A的概率。古典概型1°n21,，2°nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有1212()()()()()()()mmPAPPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A几何概型)()()(LALAP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。加法公式()()()()PABPAPBPAB当AB时，()()()PABPAPB1减法公式()()()PABPAPAB当BA时，()()()PABPAPB当A时，()()1()PABPBPB条件概率定义设,AB是两个事件，且()0PA，则称)()(APABP为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为()(|)()PABPBAPA。乘法公式()()(|)PABPAPBA()(|)(|)()PABCPCABPBAPA事件独立性①两个事件的独立性设事件,AB满足()()()PABPAPB，则称事件,AB是相互独立的。若事件,AB相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立。②多个事件的独立性设,,ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件:()()()PABPAPB；()()()PBCPBPC；()()()PACPAPC且()()()()PABCPAPBPC，那么,,ABC相互独立。全概公式设事件足12,,,nBBB两两互不相容，且(0)(1,2,,)iPBin，则1122()()(|)()(|)()(|)nnPAPBPABPBPABPBPAB贝叶斯公式设事件足12,,,nBBB两两互不相容，且(0)(1,2,,)iPBin，则1()(/)(/)(1,2,,)()(/)iiinjjjPBPABPBAinPBPAB1随机变量及其分布离散型随机变量的分布律定义：{}(1,2,3,)kkPXxpk（概率函数、分布律）性质：（1）(1,2,3,)kpk（正定性）（2）11kkp（归一性）连续型随机变量的分布密度定义：{}()baPaXbfxdx则称X为连续型随机变量。()fx称为X的概率密度函数，简称概率密度。性质：（1）()0fx（正定性）（2）()1fxdx（归一性）分布函数定义：)()(xXPxF公式：)()()(aFbFbXaP性质：（1）,1)(0xFx；（2）)(xF是单调不减的函数；（3）0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；（4）)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；（5）)0()()(xFxFxXP。离散型：xxkkpxF)(；连续型：()()xFxfxdx。重要分布01分布(1,)Bp模型：随机试验只有两种结果，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1p。定义：{1},{0}1PXpPXp二项分布(,)Bnp模型：在n重贝努里试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为X。定义：{}(,,)kknknPXkBnkpCpq，其中1,01,0,1,2,,qppkn。泊松分布ekkXPk!)(，0，2,1,0k，超几何分布(,,)HnNM定义：()0,1,2,min(,)knkMNMnNCCPXkkMnC几何分布定义：1()(1)1,2,3,)kPXkppk，均匀分布(,)Uab定义：1()0axbfxba其它（概率密度函数）1指数分布()E定义：0()0xexfx其它（概率密度函数）正态分布2(,)N定义：22()21()()2xfxexR（概率密度函数）其中,0为常数。()()()xFxftdtxR（分布函数）性质：（1）()fx的图形是关于x对称的；（2）当x时，21)(f为最大值；标准正态分布(0,1)N定义：221()()2xxexR（概率密度函数）()()()xxtdtxR（分布函数）性质：（1）()x各阶可导；（2）()x的图形是关于y轴对称的；（3）()x在(,0)递增，在(0,)递减；（4）()x在1x处有两个拐点；（5）()x有水平渐近线0y。结论：（1）2(,)XN(0,1)XN；（2）1221)(xxxXxP；（3）()1()xx；（4）1(0)2。随机变量函数的分布离散型1212,,,,(),,,,ninxxxXXPXxppp)(XgY,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，（注：相同的y值对应的概率合并）连续型（1）(){}{()}YFyPYyPgXy（2）'()()YYfyFy（注：结合()fx的表达式加以讨论）1二维随机变量(,)XY及其分布联合分布(,)XY离散型定义：),2,1,()},(),{(jipyxYXPijji性质：（1）0(,1,2,)ijpij（正定性）（2）1ijijp（归一性）连续型定义：{(,)}(,)DPXYDfxydxdy性质：（1）(,)0fxy（正定性）（2）(,)1fxydxdy（归一性）联合分布函数定义：},{),(yYxXPyxF性质：（1）0(,)1Fxy；（2）(,)Fxy关于x和y是非减函数；（3）(,)Fxy关于x和y是右连续的；（4）(,)(,)(,)0,(,)1FFyFxF。几何意义：(,)Fxy表示落在以(,)xy为右上顶点的无界矩形区域的概率。公式：{,}PaXbcYd(,)(,)(,)(,)FbdFbcFadFac。边缘分布离散型(1)()(,1,2,)iiiijjPPPXxpij；(2)()(,1,2,)jjjijiPPPYypij。连续型()(,)Xfxfxydy；()(,)Yfyfxydx独立性一般型(,)()()XYFxyFxFy离散型jiijppp连续型(,)()()XYfxyfxfy二维均匀分布1(,)(,)0DxyDSfxy其它,其中DS为区域D的面积1二维正态分布定义：22112221122122()()12(1)21(,)21xxyyfxye其中1||,0,0,21,21是参数。记作：221212(,)(,;,;)XYN。结论：（1）二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反之不真。随机向量函数的分布ZXY)()()(zYXPzZPzFZ（定义法）()(,)(,)fzfxzxdxfzyydy（连续型）结论：（1）两个独立的正态分布的和仍为正态分布，且221212(,)ZN）；（2）n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。max{,}ZXYmin{,}ZXY（,XY独立）max()()()XYFzFzFzmin()1[1()][1()]XYFzFzFz2()n分布定义：设n个随机变量nXXX,,,21相互独立，且服从标准正态分布，则niiXW12的分布密度为122210()220,0nunueunfuu我们称随机变量W服从自由度为n的2分布。其中1202nxnxedx（注：自由度是指独立正态随机变量的个数）可加性：设2()iiYn，则2121~()kikiZYnnn1t分布定义：设,XY是两个相互独立的随机变量，且2~(0,1),~()XNYn则nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf()t我们称随机变量T服从自由度为n的t分布。性质：)()(1ntntF分布定义：设)(~),(~2212nYnX，且X与Y独立，可以证明21//nYnXF的概率密度函数为1121122211121222210()2200nnnnnnnnyyynnfynny我们称随机变量F服从第一个自由度为1n，第二个自由度为2n的F分布。性质：),(1),(12211nnFnnF1随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征离散型连续型期望()EXnkkkpxXE1)(（条件：绝对收敛）dxxxfXE)()(（条件：绝对收敛）函数的期望{()}EgXnkkkpxgYE1)()(dxxfxgYE)()()(方差()DX标准差()()XDXkkkpXExXD2)]([)(dxxfXExXD)()]([)(2矩①k阶原点矩：2()kkiiiEXxp②k阶中心矩：(())kkEXEX(())kiiixEXp①k阶原点矩：2()()kkEXxfxdx②k阶中心矩:(())kkEXEX(())()kxEXfxdx切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望()EX，方差2()DX，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式22)(XP（注：切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率)(XP的一种估计，它在理论上有重要意义）期望的性质（1）()ECC；（2）()()EaXbaEXb；（3）()()()EXYEXEY，niniiiiiXECXCE11)()(；（4）()()()EXYEXEYX和Y独立；()()()EXYEXEYX和Y不相关。1方差的性质（1）()0DC；（2）2()()DCXCDX（3）2()()DaXbaDX（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）()()()[(())(())]DXYDXDY