第十一章电势

一.静电场是保守场§11.1静电场的保守性1.点电荷的静电场：点电荷q固定于原点O，检验电荷q0在q的电场中由a点沿任意路径到达b点，取微元dl，电场力对q0的元功为arbr在静止的点电荷电场中，移动单位正电荷时，电场力做的功只与试验电荷始末位置有关，而与运动路径无关。drrqqldEqAbarr20004arbr2.任意电荷系的静电场：任何静电场中，电场力作功只与试探电荷的始末位置有关，而与运动路径无关，即静电力是保守力，静电场为保守场。任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加任意点电荷系电场中，移动单位电荷时电场力所作的功为：二.静电场的环路定理（静电场是保守场表述二）E在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分为零－－静电场的环路定理。在静电场中，将试探电荷沿闭合路径移到一周时，考虑场强沿闭合路径的线积分：电场力作功与路径无关§11.2电势差和电势一.电势差（任意路径）静电场中P1、P2两点的电势差，等于将单位正电荷从P1点移至P2点电场力所作的功。二.电势静电场中P点的电势，在数值上等于单位正电荷自P点沿任意路径移到电势零点，电场力所做的功。当电荷要分布在有限区域时，选择无穷远处为电势零点，则•电势是标量，有正有负；•电势的单位：伏特1V=1J.C-1；•电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。•但是对于“无限大”或“无限长”的带电体，只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。例：求与静止的点电荷q的距离为r处的电势正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。例11.1求均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半径为R，带电量为q(设q0)。解：（1）球面外某点的电势Rr以无限远为电势零点。Rr（2）求球面内一点的电势rR例11.2求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。已知线电荷密度为。解：无限长均匀带电直线周围的场强以距带电直线为r0的P0点为电势零点。P0P’rPr0距带电直线为r的P点的电势为P0P’rPr0式中C为与电势零点的位置有关的常数。§11.3电势叠加原理一.电势叠加原理一个点电荷系的电场中某一点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和——静电场的电势叠加原理。（电势叠加原理）二.电势的计算1、运用点电荷电势公式和电势叠加原理计算电势点电荷的电势：qP电荷连续分布的带电体的电势点电荷系的电势dqP例11.3求电偶极子的电场中的电势分布。已知电偶极子中两点电荷-q，+q间的距离为l。解：以无限远为电势零点。PrO-qqlr-r+当rl时，Rqx04,0时例11.4一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。PxxRr解：以无限远为电势零点。Ox补例：均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。求轴线上任一点P的电势。解：xPxdrrR当xR时)2/(222xRxRxxqxRRqxR02022042222把圆盘当作一个点电荷2、运用高斯定理和电势的定义计算电势：2）通过电场强度的积分计算电势：1）运用高斯定律确定电场的分布：补例：半径为R的均匀带电球体，带电量为q，求电势分布。解：qRPrPqRPrP1、等势面的概念静电场中，电势相等的点所组成的曲面：•常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的电势差相等。2、等势面与电场线的关系1)等势面与电场线处处正交；3)电场线指向电势降低的方向；§11.4等势面2)两等势面相距较近处场强数值大，相距较远处场强数值小。§12.3电势叠加原理点电荷的电场线与等势面+电偶极子的电场线与等势面§12.3电势叠加原理+++++++++平行板电容器的电场线与等势面§12.3电势叠加原理点电荷的等势面1dl2dl12ddll12EE++++++neτeEldAB对于导体内部的任何两点A和B0BAABldEU0BAtABldEU对于导体表面上的两点A和B导体的电势例11.6两个半径分别为R和r的球形导体（Rr），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。设导线足够长而两球相隔足够远。Q导体上的电荷分布解:两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为Q导体上的电荷分布•孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它导体或带电体对它的影响可以忽略不计。rqRQ004141rRqQ可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。两球的电荷密度分别为24,24rqRQrR可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。导体上的电荷分布ABBA1R2R3RB例11.7一个金属球A，半径为R1。它的外面套一个同心的金属球壳B，其内外半径分别为R2和R3。二者带电后电势分别为和。求此系统的电荷及电场的分布。如果用导线将球和壳连接起来，结果又将如何？Aq1q3q2解:)1(444303202101RqRqRqA)2(430321RqqqB)3(021qq3031221021221014,)(4,)(4RqRRRRqRRRRqBABBA联立解得:)()(0)()()()(03233221212211RrrRRrRRrRrRRRRRrEBBAABBA1R2R3Rq1q3q2如果用导线将球和壳连接起来。303214,0RqqqB)()(03233RrrRRrEBBAABBA1R2R3Rq1q3q2§11.5电势梯度一.电势梯度P1EP2电场中某一点的场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的空间变化率的负值。定义电势梯度：电势梯度的大小等于电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加最快的方向。直角坐标系：求的三种方法E利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系电势是标量，容易计算。可以先计算电势，然后利用场强与电势的微分关系计算电场强度，这样做的好处是可以避免直接用场强叠加原理计算电场强度的矢量运算的麻烦。例11.8均匀带电圆环，带电量为q，半径为R。求轴线上任一点P的场强。PxrRx解：E例11.9求电偶极子电场中任意一点的电势和电场强度.Aqqlrrxy解Arrrrrq0π4rlcoslrr2rrrrq0π41rq0π41rrrrq0π420cosπ4rlq20cosπ41rp2/3220)(π4yxxpxEx2/522220)(2π4yxxypyEy2/5220)(3π4yxxyp§11.6电荷在外电场中的静电势能静电势能（电势能）一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电量与电场中该点电势的乘积。11.10求电偶极子在均匀电场中的电势能FFqqlEqqW)(qcosqlEEpW0π/2π0pEEpEp电势能最低EpEp电势能最高§11.8静电场的能量一.电荷系的静电能将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能。对于一带电体：二.静电场能量