小升初数学复习

小升初数学复习数和数的运算整数与自然数整数：自然数和0都是整数。自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。数的整除：整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。被2、3、5、7、9、11、13整除被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。被5整除的数：个位上是0或者5的数能被5整除。被3或9整除的数：一个数各位上的数的和，能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。例如：93、84、12能被3整除；738、153、1242、35685等能被9整除。被7整除的数：方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除。例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除。如：判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。例如，判断456669能不能被7整除，456669-420000=36669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以456669能被7整除。被2、3、5、7、9、11、13整除被11整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23，—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。被13整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。倍数与约数如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。偶数、奇数、质数、合数、约数自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。偶数：能被2整除的数。0是偶数。奇数：不能被2整除的数叫做奇数。性质：1奇数≠偶数．2.奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．3.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．4.奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．5.若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．6.如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．7.如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．8.两个整数的和与差的奇偶性相同．9.奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数质数（或素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。（自然数按其约数的个数的不同分：质数、合数和1。）合数的质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把28分解质因数：28=2×2×7互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。公倍数、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。质数性质的应用（一）质数合数分解质因数例1．两个质数的和是33，求这两个质数的积。解答：两个质数的和是33，而33是奇数，必为一个奇数与一个偶数之和．因为偶质数只有2，另一个质数只能为33-2=31，所以2与31的积为62。例2．用1，2，4，5，8中的三个数字组成最大的三位质数。解答：因为个位数字是2，4，5，8的三位数必能被2或5整除，所以个位数字只能是1．将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验：851=23×27，851不是质数；841=29×29，841不是质数；821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。例3．有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，求这四个人的年龄。解答：因为这四个人的年龄的乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数．先将43680分解质因数：43680=25×3×5×7×13=13×（2×7）×（3×5）×24=13×14×15×16所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16．质数性质的应用（二）4．求8400有多少个约数？解答：因为8400=24×3×52×7，所以8400的约数个数为：（4＋1）×（1+1）×（2+1）×（1+1）=60个5．求有18个约数的最小自然数？解答：因为18=18×1=2×9=3×6=2×3×3，要使所求数最小，这个数为A=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3为互不相同的质数，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22×32×5=180，即有18个约数的最小自然数为180。6．三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。解答：设这三个质数分别为a、b、c，则abc＝11（a＋b＋c）所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为ab=a＋b＋11变形，得ab-a-b＝11a（b-1）-（b-1）-1＝11（b-1）（a-1）=12=12×1=2×6=3×4当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2；当b-1=2，a-1=6时，b=3，a=7；当b-1=3，a-1=4时，b=4，a=5．所以这三个质数为2，11，13或3，7，11．质数应用（一）例1：两个质数的积是46，求这两个质数的和。分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为46÷2=23，所以2与23的和是25。例2：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。解:如果组成的三位数的个位数字是2,4,5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，，所以只有523是质数。质数应用（二）判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，