搜索
8.5椭圆-2-知识梳理考点自诊1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,则点P的轨迹为椭圆;(2)若ac,则点P的轨迹为线段;(3)若ac,则点P不存在.=-3-知识梳理考点自诊2.椭圆的标准方程及性质标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b离心率e=ca,且e∈(0,1)a,b,c的关系c2=a2-b2-4-知识梳理考点自诊(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.-5-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()(4)𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)与𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(ab0)的焦距相同.()-7-知识梳理考点自诊××√√√-8-知识梳理考点自诊2.设椭圆C:𝑥24+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()A.2B.2√3C.4D.4√3C解析:设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为OA=OB,OF=OF2,所以四边形AFBF2是平行四边形.所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.故选C.-9-知识梳理考点自诊3.(2019甘肃、青海、宁夏联考,6)如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A.25B.35C.2√35D.2√55B解析:由题意,得2b=16.4,2a=20.5,则𝑏𝑎=45,则离心率e=1-452=35.故选B.-10-知识梳理考点自诊4.(2019河南郑州质检,14)“0m2”是“方程表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).𝑥2𝑚+𝑦22-𝑚=1必要不充分解析:方程𝑥2𝑚+𝑦22-𝑚=1表示椭圆,即𝑚0,2-𝑚0,𝑚≠2-𝑚⇒0m2且m≠1,所以“0m2”是“方程𝑥2𝑚+𝑦22-𝑚=1表示椭圆”的必要不充分条件.-11-考点1考点2考点3考点4椭圆的定义及应用例1(1)(2019贵州贵阳适应性考试,6)已知F1,F2分别是椭圆E:𝑥225+𝑦29=1的左、右焦点,P为E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)已知椭圆𝑥28+𝑦22=1左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为()A.3√2B.4√2C.6√2D.7√2AD-12-考点1考点2考点3考点4解析:(1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|,而椭圆E:𝑥225+𝑦29=1中a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.(2)由题得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×2√2=8√2.所以|AF2|+|BF2|=8√2-|AB|,当AB⊥x轴时,|AB|最小,|AF2|+|BF2|最大.|AB|min=2𝑏2𝑎=2(√2)22√2=√2,所以|AF2|+|BF2|最大值为8√2−√2=7√2,故选D.-13-考点1考点2考点3考点4思考具有哪些特征的问题常利用椭圆的定义求解?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(2019辽宁大连二模,6)过椭圆𝑥225+𝑦216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)(2019四川成都七中一模,9)已知点P(x,y)在椭圆𝑥236+𝑦2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.D35-15-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ为椭圆内的弦,∴|PQ|min=2b=8,∴△PFQ周长的最小值为10+8=18.故选D.(2)椭圆𝑥236+𝑦2100=1的两个焦点为F1(0,-8),F2(0,8),由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20,两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=162,两式相减得2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=144.又𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=18,所以1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2.解得cos∠F1PF2=35.-16-考点1考点2考点3考点4椭圆的标准方程及应用例2(1)(2019黑龙江大庆期中,14)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(√6,1),P2(√3,√2),则椭圆的方程为.(3)与椭圆𝑥24+𝑦23=1有相同离心率且经过点P(2,-√3)的椭圆方程为.(4)(2019山西祁县模拟,14)已知方程𝑥2|𝑚|-1+𝑦22-𝑚=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是.𝑥218+𝑦29=1或𝑦218+𝑥29=1𝑥29+𝑦23=1𝑦2253+𝑥2254=1或𝑥28+𝑦26=1m-1或1m32-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意知𝑐𝑎=√22,得a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),椭圆上任取点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF中点M𝑥0-𝑐2,𝑦02,根据条件可得𝑦02=𝑥0-𝑐2+4,kPF=𝑦0𝑥0+𝑐=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为𝑥218+𝑦29=1或𝑦218+𝑥29=1.-18-考点1考点2考点3考点4(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且m≠n).∵椭圆经过点P1,P2,∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程,则6𝑚+𝑛=1,①3𝑚+2𝑛=1,②由①②两式联立,解得𝑚=19,𝑛=13.∴所求椭圆的方程为𝑥29+𝑦23=1.-19-考点1考点2考点3考点4(3)因为e=𝑐𝑎=𝑎2-𝑏2𝑎=1-𝑏2𝑎2=1-34=12,若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为𝑥2𝑚2+𝑦2𝑛2=1(mn0),则1-𝑛𝑚2=14,从而𝑛𝑚2=34,𝑛𝑚=√32.又4𝑚2+3𝑛2=1,所以m2=8,n2=6.所以椭圆方程为𝑥28+𝑦26=1.若焦点在y轴上,设椭圆方程为𝑦2ℎ2+𝑥2𝑘2=1(hk0),则3ℎ2+4𝑘2=1,且𝑘ℎ=√32,解得h2=253,k2=254.故所求方程为𝑦2253+𝑥2254=1,故椭圆的方程为𝑦2253+𝑥2254=1或𝑥28+𝑦26=1.-20-考点1考点2考点3考点4【一题多解】若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为𝑥24+𝑦23=t(t0),将点P(2,-√3)代入,得t=224+(-√3)23=2.故所求方程为𝑥28+𝑦26=1;若焦点在y轴上,设方程为𝑦24+𝑥23=λ(λ0),代入点P(2,-√3),得λ=2512,故所求方程为𝑦2253+𝑥2254=1.故椭圆的方程为𝑦2253+𝑥2254=1或𝑥28+𝑦26=1.(4)∵𝑥2|𝑚|-1+𝑦22-𝑚=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴2-m|m|-10,解得m-1或1m32.-21-考点1考点2考点3考点4思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.2.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0且m≠n)的形式,避免讨论.-22-考点1考点2考点3考点43.椭圆的标准方程的两个应用:(1)方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1与𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=λ(λ0)有相同的离心率.(2)与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)共焦点的椭圆系方程为𝑥2𝑎2+𝑘+𝑦2𝑏2+𝑘=1(ab0,k+b20),恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)或𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1(ab0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b即可得椭圆方程.-23-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2019江西九江一模,15)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(-3,0),且离心率e=√53,则椭圆的标准方程为.𝑥24+𝑦22=1𝑥29+𝑦24=1或𝑦2814+𝑥29=1-24-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意可设椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦22=1,C2:𝑦22+𝑥2𝑏2=1(a√2,0b√2),由𝑎2-2𝑎2=2-𝑏22,得ab=2,由2𝑎2-2·2-𝑏2=2√2,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C1为𝑥24+𝑦22=1.(2)若焦点在x轴上,由题知a=3,因为椭圆的离心率e=√53,c=√5,b=2,所以椭圆方程是𝑥29+𝑦24=1;若焦点在y轴上,则b=3,a2-c2=9,又离心率e=√53,解得a2=814,所以椭圆方程是𝑦2814+𝑥29=1.-25-考点1考点2考点3考点