第三节-两正态总体的假设检验

第三节两个正态总体的假设检验上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.1.两正态总体数学期望假设检验（1）方差已知，关于数学期望的假设检验（Z检验法）设X~N(μ1,σ12），Y~N（μ2，σ22），且X，Y相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.(双边检验)怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X与Y中分别抽取容量为n1，n2的样本X1，X2，…，1nX及Y1，Y2，…，2nY，由于2111~,XNn，2222~,YNn，E（X-Y）=E（X）-E（Y）=μ1-μ2，D（X-Y）=D（X）+D（Y）=221212nn，故随机变量X-Y也服从正态分布，即X-Y~N(μ1-μ2，221212nn).从而12221122()()(/)(/)XYnn~N（0，1）.于是我们按如下步骤判断.（a）选取统计量Z=221122()(/)(/)XYnn，（8.16）当H0为真时，Z~N（0，1）.（b）对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求zα/2使P{｜Z｜＞zα/2}=α，或P{Z≤zα/2}=1-α/2.（8.17）（c）由两个样本观察值计算Z的观察值z0：z0=221122(/)(/)xynn.（d）作出判断：若｜z0｜＞zα/2，则拒绝假设H0，接受H1；若｜z0｜≤zα/2，则与H0相容，可以接受H0.例8.7A，B两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A车床加工的轴的椭圆度X~N（μ1，σ12），B车床加工的轴的椭圆度Y~N（μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm2)，σ22=0.0038(mm2)，现从A，B两台车床加工的轴中分别测量了n1=200，n2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)解①提出假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.②选取统计量Z=221122(/)(/)XYnn，在H0为真时，Z~N（0，1）.③给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.P{｜Z｜＞zα/2}=0.05,P{Z＞zα/2}=0.025，P{Z≤zα/2}=1-0.025=0.975.查标准正态分布表，得zα/2=z0.025=1.96.④计算统计量Z的观察值zz0=2211220.0810.060(0.0006/200)(0.0038/150)(/)(/)xynn=3.95.⑤作判断：由于｜z0｜=3.95＞1.96=zα/2，故拒绝H0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.用Z检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t检验法.（2）方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t检验法）设两正态总体X与Y相互独立，X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.(双边检验)从总体X，Y中分别抽取样本X1，X2，…，1nX与Y1，Y2，…，2nY，则随机变量t=1212(1/)(1/)wXYSnn~t（n1+n2-2），式中Sw2=22112212(1)(1)2nSnSnn，S12，S22分别是X与Y的样本方差.当假设H0为真时，统计量t=12(1/)(1/)wXYSnn~t（n1+n2-2）.（8.18）对给定的显著性水平α，查t分布得tα/2（n1+n2-2），使得P{｜t｜＞tα/2（n1+n2-2）}=α.（8.19）再由样本观察值计算t的观察值t0=12(1/)(1/)wxySnn，（8.20）最后作出判断：若｜t0｜＞tα/2（n1+n2-2），则拒绝H0；若｜t0｜≤tα/2（n1+n2-2），则接受H0.例8.8在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.表8-3零件加工编号12345678910第一个样本2.0662.0632.0682.0602.0672.0632.0592.0622.0622.060第二个样本2.0632.0602.0572.0562.0592.0582.0622.0592.0592.057假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为σ12=σ22=σ2，而σ2是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)解这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.我们用t检验法，由样本观察值算得：x=2.063,y=2.059，s12=0.00000956，s22=0.00000489，sw2=2212990.0000860.0000441010218ss=0.0000072.由（8.20）式计算得t0=2.0632.0590.0000072(2/10)=3.3.对于α=0.01，查自由度为18的t分布表得t0.005(18)=2.878.由于｜t0｜=3.3＞t0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.2.两正态总体方差的假设检验（F检验法(F-test)）（1）双边检验设两正态总体X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），X与Y独立，X1，X2，…，1nX与Y1，Y2，…，2nY分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H0：σ12=σ22；H1：σ12≠σ22.在原假设H0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量F=2122SS.（8.21）显然，只有当F接近1时，才认为有σ12=σ22.由于随机变量F*=22112222//SS~F（n1-1，n2-1）,所以当假设H0：σ12=σ22成立时,统计量F=2122SS~F（n1-1，n2-1）.对于给定的显著性水平α，可以由F分布表求得临界值12aF（n1-1，n2-1）与Fα/2（n1-1，n2-1）使得P{12aF（n1-1，n2-1）≤F≤Fα/2（n1-1，n2-1）}=1-α（图8-5），由此可知H0的接受区域是12aF（n1-1，n2-1）≤F≤Fα/2（n1-1，n2-1）；而H0的拒绝域为F＜12aF（n1-1，n2-1），或F＞Fα/2（n1-1，n2-1）.然后，根据样本观察值计算统计量F的观察值，若F的观察值落在拒绝域中，则拒绝H0，接受H1；若F的观察值落在接受域中，则接受H0.图8-5例8.9在例8.8中我们认为两个总体的方差σ12=σ22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H0：σ12=σ22（给定α=0.1).解这里n1=n2=10，s12=0.00000956,s22=0.00000489，于是统计量F的观察值为F=0.00000956/0.00000489=1.95.查F分布表得Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.05(9,9)=3.18，F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.95(9,9)=1/F0.05(9,9)=1/3.18.由样本观察值算出的F满足F0.95(9,9)=1/3.18＜F=1.95＜3.18=F0.05(9,9).可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H0：σ12=σ22，从而认为两个总体的方差无显著差异.注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H0：σ12=σ22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：F=12211122121()1()niiniiXnYn~F（n1，n2）.其拒绝域参看表8-4.表8-4检验参数条件H0H1H0的拒绝域检验用的统计量自由度分位点均值σ12,σ22已知μ1=μ2μ1≤μ2μ1≥μ2μ1≠μ2μ1＞μ2μ1＜μ2|Z|＞zα/2Z＞zαZ＜-zαZ=221212XYnn±zα/2zα-zασ12,σ22未知σ12=σ22μ1=μ2μ1≤μ2μ1≥μ2μ1≠μ2μ1＞μ2μ1＜μ2｜t｜＞tα/2t＞tαt＜-tαt=1211wXYSnnn1+n2-2±tα/2tα-tα方差μ1,μ2未知σ12=σ22σ12≤σ22σ12≥σ22σ12≠σ22σ12＞σ22σ12＜σ22F＞Fα/2或F＜F1-α/2F＞FαF＜F1-αF=2122SS(n1-1,n2-1)Fα/2或F1-α/2FαF＜F1-αμ1,μ2已知σ12=σ22σ12≤σ22σ12≥σ2σ12≠σ22σ12＞σ22σ12＜σ22F＞Fα/2或F＜F1-α/2F＞FαF＜F1-αF=12211122121()1()niiniiXnXn(n1,n2)Fα/2或F1-α/2FαF＜F1-α(2)单边检验可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.