高数复习资料全(打印版)

高等数学（本科少学时类型）函数与极限函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列nx，证明limnxxa【证明示例】N语言1．由nxa化简得gn，∴Ng2．即对0，Ng，当Nn时，始终有不等式nxa成立，∴axnxlim函数的极限○0xx时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxx0lim【证明示例】语言1．由fxA化简得00xxg，∴g2．即对0，g，当00xx时，始终有不等式fxA成立，∴Axfxx0lim○x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxlim【证明示例】X语言1．由fxA化简得xg，∴gX2．即对0，gX，当Xx时，始终有不等式fxA成立，∴Axfxlim无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数xf无穷小0limxf函数xf无穷大xflim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设xf为有界函数，xg为无穷小，则lim0fxgx（定理四）在自变量的某个变化过程中，若xf为无穷大，则1fx为无穷小；反之，若xf为无穷小，且0fx，则xf1为无穷大【题型示例】计算：0limxxfxgx（或x）1．∵fx≤M∴函数fx在0xx的任一去心邻域,0xU内是有界的；（∵fx≤M，∴函数fx在Dx上有界；）2．0lim0xgxx即函数xg是0xx时的无穷小；（0limxgx即函数xg是x时的无穷小；）3．由定理可知0lim0xxfxgx（lim0xfxgx）极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px、xq商式的极限运算设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有0lim00baxqxpxmnmnmn（特别地，当00lim0xxfxgx（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx【求解示例】解：因为3x，从而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx其中3x为函数239xfxx的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数xf是定义域上的连续函数，那么，00limlimxxxxfxfx【题型示例】求值：93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sinlim0xxx∵2,0x，xxxtansin∴1sinlim0xxx（特别地，000sin()lim1xxxxxx）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：exxx11lim（一般地，limlimlimgxgxfxfx，其中0limxf）【题型示例】求值：11232limxxxx【求解示例】无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe2．UUcos1~212（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：xxxxxx31ln1lnlim20【求解示例】函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★））无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数xaexfx2，00xx应该怎样选择数a，使得xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵2010000feeefaafa2．由连续函数定义efxfxfxx0limlim00∴ea闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间,ab上连续；2．∵0ab（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使得0，即0fgC（10）4．这等式说明方程fxgxC在开区间ba,内至少有一个根导数与微分导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数baxexfx1，00xx在0x处可导，求a，b【求解示例】1．∵0010fefa，00001120012feefbfe2．由函数可导定义0010002ffafffb∴1,2ab【题型示例】求xfy在ax处的切线与法线方程（或：过xfy图像上点,afa处的切线与法线方程）【求解示例】1．xfy，afyax|2．切线方程：yfafaxa法线方程：1yfaxafa函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()uvuv特别地，当1时，有()uvuv2．函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv3．函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数xf1的导数【求解示例】由题可得xf为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且0xf；∴11fxfx○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设2arcsin122lnxyexa，求y【求解示例】高阶导数○1nnfxfx（或11nnnndydydxdx）（★）【题型示例】求函数xy1ln的n阶导数【求解示例】1111yxx，12111yxx，……隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★）【题型示例】试求：方程yexy所给定的曲线C：xyy在点1,1e的切线方程与法线方程【求解示例】由yexy两边对x求导即yyxe化简得1yyey∴eey11111∴切线方程：exey1111法线方程：exey111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程tytx，求22dxyd【求解示例】1.ttdxdy2.22dydydxdxt变化率问题举例及相关变化率（不作要求）函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）中值定理与导数的应用中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得cossin0ff成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令sinxfxx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2．又∵00sin00f即003．∴由罗尔定理知0,，使得cossin0ff成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x时，xeex【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数xfxe，则对1x，显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且xfxe；2．由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式11xeexe成立，又∵1ee，∴111xeexeexe，化简得xeex，即证得：当1x时，xeex【题型示例】证明不等式：当0x时，ln1xx【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数ln1fxx，则对0x，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区间0,上可导，并且11fxx；2．由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式1ln1ln1001xx成立，化简得1ln11xx，又∵0,x，∴111f，∴ln11xxx，即证得：当1x时，xeex罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0）且满足条件，则进行运算：limlimxaxafxfxgxgx（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx【求解示例】（一般地，0limln0xxx，其中,R）⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011limsinxxx【求解示例】000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx【求解示例】0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxxxyxxxxyeeex解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1型（对数求极限法）【题型示例】求值：10limcossinxxxx【求解示例】⑸0型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）泰勒中值定理（不作要求）函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数3229123fxxxx的单调区间【求解示例】1．∵函数fx在其定义