北师大版九年级数学上册《相似三角形判定定理的证明》精品教案

《相似三角形判定定理的证明》精品教案教学目标：一、知识与技能目标：1.了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法；2.进一步掌握相似三角形的三个判定定理．二、过程与方法目标：通过合作探究和练习，会综合应用相似三角形判定定理以及性质解决相关问题.三、情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.重点：掌握相似三角形的三个判定定理．难点：通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．教学流程：一、课前回顾在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．问：您能证明它们一定成立吗？目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。二、活动探究1.活动探究1：两角对分别相等的两个三角形相似.命题：两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。第一步：引导学生根据文字命题画图，ABCA’B’C’第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证.已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。求证:△ABC∽△A’B’C’.第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）教师进行引导。证明：如图，在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B，∠AED=∠C,ADAEABAC(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。过点D作AC的平行线，交BC于点F,则ADCFABCB(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。∴AECFACCB∵DE∥BC，DF∥AC∴四边形DFCE是平行四边形。∴DE=CF∴AEDEACCB∴ADAEDEABACCB而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ABC∽△A'B'C'∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’,AD=A’B’,∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A’B’C’.方法二：如图作辅助线也可以证明这个问题.通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：在△A´B´C´和△ABC中，∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∆ABC∽∆A'B'C'.现在，我们已经有一种判定三角形相似的方法。练习：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC延长线上的点，且DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．2.动手实践，推理证明活动探究2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？鼓励学生积极思考，画出图形，写出已知，求证.然后同桌合作模仿前面的证明过程，进行证明。可让学生板书过程.证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//B’C,交AC于点E,∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED∴△ADE∽△ABC=ABACADAE∴∵==''''ABACADABABAE，=''ABACADAC∴=''ACACAEAC∴∴AE=A'C'而∠A=∠A'∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.总结:相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.符号语言：在△A´B´C´和△ABC中，''''ABACKABAC∵，∠A=∠A’，∴△ABC∽△A’B’C’练习：如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的,找出图中的相似三角形.3.类比探究3下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明.从而得到相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.鼓励学生积极思考，画出图形，写出已知，求证.然后同桌合作模仿前面的证明过程，进行证明。证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,∴△ADE∽△ABCADDEAE==ABBCAC∴又A'B'B'C'A'C'==AD=A'B'ABBCAC∵，ADA'B'=ABAB∴AEA'C'=ACAC∵AE=A'C'∴同理DE=B’C’∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABC通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.总结:相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.符号语言：在△A´B´C´和△ABC中，''''''==ABBCCAABBCCA∵∴△A´B´C´∽△ABC练习：如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,求证:△EFD∽△ABC4、类比探究4下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明.类比前面的方法，探究直角三角形相似的判断：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.鼓励学生积极思考，画出图形，写出已知，求证.已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，求证：△ABC∽△CBD∽△ACD.然后同桌合作模仿前面的证明过程，进行证明。可让学生板书过程.DCBA证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB∵∠CDA=∠ACB=90°∵∠A=∠A∵△ACD∽△ABC同理△CBD∽△ABC∴△ACD∽△ABC∽△ACD（最后告诉学生，以后可以直接用的结论来判定直角三角形相似.）练习：下列说法中错误是（）A、三角形的一条中位线截这个三角形所得的三角形与原三角形相似；B、等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形相似；C、直角三角形斜边上的高把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似；D、等腰直角三角形底边上的中线把这个三角形分成的两个三角形相似．如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：△DBF∽△ADF5、方法选择，合理应用相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。归纳小结相似三角形的基本图形：“A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型“X”型蝴蝶型五、实例讲解1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．2．(1)∠ACP满足什么条件时△ACP∽△ABC(2)AC∶AP满足什么条件时△ACP∽△ABC五、达标测评1、如图，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A.只有甲与乙B.只有乙与丙C.只有甲与丙D.甲与乙与丙2、、已知：如图==ADDEAEACABBC，求证：AB=AE3、如图，AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2，求证△ABC∽△ADE六、拓展提升已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'，求证：△ABC∽△A'B'C’七、体验收获通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？1、相似三角形判定定理(1)判定定理1：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∆ABC∽∆A'B'C'(2)判定定理2：∵KCAACBAAB''''，∠A=∠A’，∴△ABC∽△A’B’C’(3)判定定理2：∵''''''==ABBCCAABBCCA，∴△A´B´C´∽△ABC2、直角三角形的一个重要结论：∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∆ABC∽∆ACD∽∆CBD七、布置作业102页第3题、4题.