第十六章层次分析法(运筹学-上海电力学院,施泉生

第十六章层次分析法层次分析法（AHP）美国运筹学家A.L.Saaty于本世纪70年代提出的层次分析法（AnalyticalHierar-chyProcess，简称AHP方法)，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。层次分析法（AHP）应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。层次分析法（AHP）基本原理：AHP法首先把问题层次化，按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次，构成一个多层次的分析结构模型，分为最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。层次分析法（AHP）特点：分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化；分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；层次分析法（AHP）特点：这种方法适用于多准则、多目标的复杂问题的决策分析，广泛用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析以及企业人员素质测评。层次分析法（AHP）具体步骤：明确问题递阶层次结构的建立建立两两比较的判断矩阵层次单排序层次综合排序层次分析法（AHP）具体步骤：明确问题在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。层次分析法（AHP）具体步骤：递阶层次结构的建立根据对问题分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特性组合起来，形成层次分析法（AHP）具体步骤：更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次因素。o最高层是目标层o中间层是准则层o……..o最低层是方案层或措施层层次分析法（AHP）具体步骤：建立两两比较的判断矩阵判断矩阵表示针对上一层次某单元（元素），本层次与它有关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式：Csp1p2……pnp1b11b12……b1np2b21b22……b2n………………………………pnbn1bn2……bnn判断矩阵在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采用1-9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。标度定义与说明1两个元素对某个属性具有同样重要性3两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要5两个元素比较，一元素比另一元素明显重要7两个元素比较，一元素比另一元素重要得多9两个元素比较，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度1/bij两个元素的反比较判断矩阵B具有如下特征：obii=1obji=1/bijobij=bik/bjk(i,j,k=1,2,….n)判断矩阵中的bij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的bij满足上述三条关系式时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=max-nn-1一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.(RandomIndex),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标。n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59当n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比称为随机一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.当C.R.0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当C.R.≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.0.10，从而具有满意的一致性。层次分析法（AHP）具体步骤：层次单排序层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序，这就要计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法是和积法和方根法。和积法具体计算步骤：o将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：bij=bij1nbij(i,j=1,2,….n)o将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：Wi=1nbij(i=1,2,….n)o对向量W=（W1，W2……Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，W2……Wn)t即为所求的特征向量的近似解。o计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi方根法具体计算步骤：o将判断矩阵的每一行元素相乘MijMij=1nbij(i=1,2,….n)o计算Mi的n次方根WiWi=nMi(i=1,2,….n)o对向量W=（W1，W2……Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，W2……Wn)t即为所求的特征向量的近似解。o计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi层次分析法（AHP）具体步骤：层次总排序利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。层次分析法实例某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作，干部的优劣（由上级人事部门提出），用六个属性来衡量：健康状况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风，分别用p1、p2、p3、p4、p5、p6来表示。判断矩阵如下B。Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B1甲乙丙甲11/41/2乙413丙21/31健康状况p1组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B2甲乙丙甲11/41/5乙411/2丙521业务水平p2组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B3甲乙丙甲131/5乙1/311丙511写作水平p3组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B4甲乙丙甲11/35乙317丙1/51/71口才p4组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B5甲乙丙甲117乙117丙1/71/71政策水平p5组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B6甲乙丙甲179乙1/715丙1/91/51工作作风p6解：1画出层次分析图提拔一位干部担任领导工作健康状况业务水平写作水平口才政策水平工作作风甲乙丙w1w2w3w4w5w6总目标方案层子目标Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵2求出目标层的权数估计用和积法计算其最大特征向量和积法具体计算步骤：o将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：bij=bij1nbij(i,j=1,2,….n)Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p62223116.255.756.53207.333.83Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.266.255.756.53207.333.83o将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：Wi=1nbij(i=1,2,….n)Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.951.101.200.300.931.51o对向量W=（W1，W2……Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，W2……Wn)t即为所求的特征向量的近似解。Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.951.101.200.300.931.515.99Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.160.180.200.050.160.25W用和积法计算其最大特征向量为：W=（W1，W2……Wn)t=（0.16,0.18,0.20,0.05,0.16,0.25)t即为所求的特征向量的近似解。o计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi(BW)=111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/33112223110.160.180.200.050.160.25=1.0251.2251.3050.3091.0661.64max=1n(BW)inWi=1.0256*0.160.3096*0.051.0666*0.161.2256*0.181.3056*0.201.6406*0.25+++++max=1n(BW)inWi=1.0680.8581.1101.1341.08751.093+++++=6.35判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=max-nn-1判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=6.35-66-1=0.07随机一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.0.071.24==0.0560.103求出方案层对目标层的最大特征向量(同2），求得（W11W21W31）=（0.14,0.62,0.24)（W12W22W32）=（0.10,0.32,0.58)（W13W23W33）=（0.14,0.62,0.24)（W14W24W34）=（0.28,0.65,0.07)（W15W25W35）=（0.47,0.47,0.06)（W16W26W36）=（0.80,0.15,0.05)层次分析法（AHP）具体步骤：层次总排序利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。4求得三人所得总分甲的总分=Wi*Wi1=0.16*0.14+0.18*0.1