小学奥数--5-1-3-2-数阵图(二).教师版

5-1-3-2.数阵图.题库教师版page1of111.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】这9个数的和：11121321222331323310203031233198（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图5-1-3-2.数阵图.题库教师版page2of11【答案】33【例2】如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是。【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】2【答案】2【例3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）acb49817则有a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2）c+17+9=a+b+c（3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？5-1-3-2.数阵图.题库教师版page3of11【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。【答案】【例6】将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的内，并使每个面上的四个内的数字之和都相等。求与填入数字1的有线段相连的三个内的数的和的最大值。5-1-3-2.数阵图.题库教师版page4of11【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分【解析】因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。因为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个○的和是6782161827453【答案】21【例7】将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．18-c-d18-b-cc+d-6b+c-612-d12-c12-bdcb61110987543216【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设左下角的数为a，每条直线上的三个数的和为S．由于这11个数的和为121166．从左下角引出的5条直线的总和为5S，其中左下角的数多计算了4次，则5664Sa；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466Sa．从而结合上面的两个式子可得18S，6a，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b，c，d，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b，c，d，12b，12c，12d，18bc，18cd，6bc，6cd．由于18121818bcccd，得到330bcd，即303bdc．所以，只要选取适当的b，c，d的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择9c，1b，2d，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。31052794861115498371021116【答案】5-1-3-2.数阵图.题库教师版page5of1131052794861115498371021116【例8】在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．★fedcba★【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．根据题意，有234af★⑴234bc★⑵234ed★⑶234abe⑷234cdf⑸⑴⑵⑶⑷⑸，有3234★，即234378★．【答案】78【例9】请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积ABC？CBA【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10题【【解解析析】】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为ABC，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。2CA-C3CA+2CB-2CB-CA+CABC由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是ABC，可以得到，332ABCBCAC，可得2ABC，代入得2333BCBC，5-1-3-2.数阵图.题库教师版page6of11即6BC，只能是1C，6B，28ABC，则86148ABC【答案】86148ABC【例10】下图中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．﹡【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4(12311)66Saa；a﹡a﹡在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5(12311)4664Saa．综合以上两式，4665664SaSa，解得6a，18S．考虑到含有*的五条线，有4(12311)18590t，即424t．可见t是4的倍数，在1～11间可能为4和8，但t为8时也为8，重复．所以4t，7．即每行相等的和为18，标有*的圆圈中所填的数为7．最终的填法如右下图．t﹡1110987654321【答案】1110987654321【例11】“美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果学比美大，美比园大，那么，园表示。5-1-3-2.数阵图.题库教师版page7of11【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：①1、2、5、7；②2、3、4、6；③1、3、4、7；④1、3、5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2，5，7；1，3，4，7；1，3，5，6．其中①、③公有的是1，7；①、④公有是1，5；③、④公有1，3，即“妙，花，数”应为3，7，5其中之一．则剩下数字2，4，6应为美、学、园其中之一．又因为学美园，所以学6，美4，园2．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园2．美5花4妙1学7的3数6园2【答案】2【例12】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50。那么，从左向右，这五个问号依次是？？？？？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分【解析】根据题意答案为：25，28，27，24，26【答案】25，28，27，24，26【例13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等．【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于19的和45再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是123410，最大是678930，所以，5453075k，5451055k，即1115k．当11k，13，14时可得四种填法(见右下图)．dcba987654321123456789123456789987654321当15k时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为a，b，c，d，由上面的分析可知，a，b，5-1-3-2.数阵图.题库教师版page8