2011年9月训练题：等腰三角形(专题)(含答案)

1等腰三角形知识点回顾知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角等腰三角形的两个底角.例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o分析：根据等边对等角的性质可知：∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠BAD＝∠ABD．因此就有∠ABC＝∠C＝∠BDC，因此若设∠A＝x，则有∠BAD＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝2x．所以可列方程：x+2x+2x＝180°可以解得x＝36°．同步检测一：1.在△ABC中，AB＝AC，①若∠A＝70°，则∠B＝°，∠C＝°②若∠B＝40°，则∠A＝°2.）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）Ａ．50°Ｂ．80°Ｃ．50°或80°Ｄ．40°或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的、、互相重合。例2：如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC解：过点A作AF⊥BC∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF∴AF垂直平分BC∴AB＝AC同步检测二：1.在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝70°，BC＝10㎝，则BD＝，∠BAD＝°知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边在△ABC中，如果∠A＝∠B，则有＝例3：如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E，求证：△BED是等腰三角形．解：∵BD是∠ABC的角平分线∴∠ABD＝∠CBD∵DE∥BC∴∠CBD＝∠BDE∴∠ABD＝∠BDE∴BE＝DE∴△BED是等腰三角形同步检测三：1.在△ABC中∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝10㎝，则AB＝㎝ABCDEFABCDE2知识点四：等边三角形的性质与判定等边三角形的三条边都相等，三个角都相等且都等于°都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形例4:如图，C为线段AB上一点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N，AE交BD于点O．求证：⑴AE＝BD⑵∠AOB＝120°⑶△CMN是等边三角形分析：⑴根据等边三角形的性质可用SAS证明△ACE≌△DCB，则得AE＝BD同时可得∠CEA＝∠CBD，⑵因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE＝60°，故只需证△MCE≌△NCB即可.同步检测四：1．若△ABC是等边三角形，D为AC的中点，则∠DBC＝°2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角为60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）均相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中可以确定是等边三角形的是。知识点五：含30°的直角三角形的性质在Rt△中，30°的角所对的直角边等于斜边的例5：如图，有一块形状为等边△ABC的空地，DE、EF为地块中的两条路，且D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，现已知AE＝5m，你能求出地块△EFC的周长吗？分析：易知△EFC为等边三角形，则只需求出其边长即可。而由含30°的直角三角形的性质可求出AD＝10m，从而得AB为20m，进而得CE为15m。同步检测五：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠A＝30°，BC＝2㎝，则BD＝㎝，AD＝㎝随堂检测：1．等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若AB＝10，则BE＝DCBA第6题图FECBA第2题图第1题图ODCBAEDCBAFEDCBAONMEDCBA32．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，则CD＝㎝3．等腰三角形的一个外角为140°，则这个三角形的顶角为°．4．等腰三角形的两边长分别为9和4，它的周长为．5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，则BC＝㎝．6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，则BF＝．7．如图７，在Rt△ABC中，90A，AB=AC＝86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FEBE，则△CEF的面积是（）A．16B．18C．66D．768．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，则其腰上的高为cm.9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积.10.已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．同步练习：1．如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，则∠ACD＝，若AD＝2㎝，则△ABC的周长为㎝2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）CA第3题图第1题图DBDCBACBFAE图７DCBAFMPEDCBA第9题图4ABDCA．顶角B．顶角的一半C．顶角的两倍D．底角的一半3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝4．若等腰三角形的一个内角为50°，则其底角为5．（09青海）方程29180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．12或15C．15D．不能确定6．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11C．7或11D．7或107．如图，在等边ABC△中，DE、分别是ABAC、的中点，3DE，则ABC△的周长是（）A．6B．9C．18D．248．如图所示，ABC△是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CECD，（1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BMEM．9．已知：在△ABC中，AB＝AC．(1)设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x(2≤x≤3)．写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；(2)如图，D是线段BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD，求证：△ABC∽△DBA．11．如图，已知正三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，①求证∠APE＝60°②如EF⊥AD，则判断PF与PE的大小关系，并给出证明。ACBDE第9题图ABCDE5随堂检测参考答案：1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．32；9．证明：(1)∵AD∥BC，AB=DC∠B=60°∴∠DCB＝∠B＝60°∠DAC＝∠ACB又∵AD=DC∴∠DAC＝∠DCA∴∠DCA=∠ACB＝0060302＝∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC（2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB=DC＝6∴BE=3∴2236933AEABBE∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC=2AB=12∴11()(612)3327322SADBCAE梯＝10．解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．（注：证全等也可得到AC=AB）∴AB=CD．(2)∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD∴∠CAD=∠CDA∴∠MPC=∠CDA．∴∠MPF=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．（注：证全等也可得到CE=BE）∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)∴∠CME=∠BME．（注：证全等也可得到∠CME=∠BME）∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F(三角形内角和)．注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F同步练习参考答案：1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．33；6．C；7．18；8．（1）作图见答案图，（2）ABC△是等边三角形，D是AC的中点，BD平分ABC（三线合一），2ABCDBE．CECD，CEDCDE．又ACBCEDCDE，答案图ACBDEM62ACBE．又ABCACB，22DBCE，DBCE，BDDE．又DMBE，BMEM．9．(1)解：y＝7－2x(2≤x≤3)画图象略(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.11．⑴证△ABD≌△BCE(SAS)；∴∠BAP＝∠EBC,∴∠APE＝∠ABE+∠BAP＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°⑵运用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝2PF12．（1）CD=BE．理由如下:∵△ABC和△ADE为等边三角形∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o∵∠BAE=∠BAC－∠EAC=60o－∠EAC，∠DAC=∠DAE－∠EAC=60o－∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ACD∴CD=BE（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=1122BECDCN∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等边三角形．设AD=a，则AB=2a．∵AD=AE=DE，AB=AC，∴CE=DE．∵△ADE为等边三角形，∴∠DEC=120o，∠ADE=60o，∴∠EDC=∠ECD=30o，∴∠ADC=90o．∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30o，∴CD=3a．图11CNDABME图10CNDAMEBDCBA7∵N为DC中点，∴32DNa，∴222237()22ANDNADaaa．∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN7:16:447:4:1)27(:)2(:222aaa解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等边三角形设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a易证BE⊥AC，∴BE=aaaAEAB3)2(2222，∴32EMa∴aaaAEEMAM27)23(2222∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN7:16:447:4:1)27(:)2(:222aaa