复变函数积分复习题

1/53.1计算积分2Czdz，其中C是：（1）原点到2i的直线段；（2）原点到2再到2i的折线；（3）原点到i再沿水平到2i的折线。解：（1）C的参数方程为22201ztittit2dzidt于是2221222113Ciidzdtizt（2）12CCC，1C参数方程为02ztt，2C参数方程为201zitt12221222200122113CCCzdzzdzzdztdtiditit（3）12CCC，1C参数方程为01zitt，2C参数方程为02ztit1221222220012113CCCzdzzdzzdzitidtdttii3.2设C是,ize是从到的一周，计算：（1）ReCzdz；（2）ImCzdz；（3）Czdz解：cossinizei，sincosdzid（1）RecossincosCzdzidi；（2）ImsinsincosCzdzid；（3）cossinsincos2Czdziidi3.3计算积分Czzdz，其中C是由直线段11,0xy及上半单位圆周组成的正向闭曲线。解：12CCC，1C表示为zxiy，11,0xy；2C表示为cossin0zxiyi，sincosdzid，2/512110cossinsincosCCCzzdzzzdzzzdzxxdxiidi3.5沿下列指定曲线的正向计算积分21Cdzzz的值：（1）1:2Cz；（2）3:2Cz；（3）1:2Czi；（4）3:2Czi。解：11122fzzzizi（1）2111112002221CCCCdzdzdzdziizzizizz；（2）21111120221CCCCdzdzdzdziiizzizizz；（3）21111100221CCCCdzdzdzdziizzizizz；（4）21111120221CCCCdzdzdzdziiizzizizz3.6设区域D为右半平面，z为D内的圆周1z上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与z，证明：20Re14zd。证明：函数211在右半平面解析，故从0到z沿任意曲线C的积分与路径无关，积分路径换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z点。1222000=111iziddxiedxe042cosid所以20Re14zd3.8设C为正向椭圆22149xy，定义22Cfzdz，z不在C上，求3/51,,ffifi。解：z在C内部时，22z在=z处不解析，22222Cfzdizzz，211224zfizzi；22122zifiizi；4fii3.9计算下列积分：（1）2siniizdz；（2）11izzedz；（3）212iizdz；（4）1ln11izdzz解：（1）21sin1cos22iiiizdzzdzsin2sin22424zizizzzzsin22ii；（2）11111111111iizziziziizedzzeedzieeie；（3）23111112233iiiizdzizi；（4）22211ln111ln1ln1ln2122iizdzziz2211ln2ln2224i223ln2ln23288i3.10设32efzdzz，求,fifi；当2z时，求fz。解：z在2z内部时，3ez在=z处不解析，3322zefzdziez，4/533223zizifiieiei；33223zizifiieiei；当2z时，3ez将处处解析，所以320efzdzz3.11沿下列指定曲线的正向计算各积分：（1）5cos,:11CzdzCzrz；（2）231,:111CdzCzrzz；（3）2sin3,:22CzdzCzz；（4）3,:1,zCedzCzaza为1a的任何数；（5）2sin,:229CzdzCziz；（6）123cosCCzdzz，其中1:2Cz取正向，2:3Cz取负向。解：（1）cosz在由:1Czr围成的区域内解析，5415cos2cos4!121zCziidzzz；（2）函数23111fzzz在由:1Czr围成的区域内无奇点，处处解析，所以231011Cdzzz；（3）函数2sin2zfzz在由3:2Cz围成的区域内无奇点，处处解析，所以2sin02Czdzz；5/5（4）当1a时，3zefzza在由:1Cz围成的区域内无奇点，处处解析，所以30zCedzza；当1a时，3zefzza在由:1Cz围成的区域内有奇点za，322!zzazaCeidzeeiza；（5）函数2sin9zfzz在由:22Czi围成的区域内有奇点3zi，32sinsinsin32sin3sinh393333ziCCzzzizidzdziizzizi；（6）设2:3Cz取正向，1212333coscoscosCCCCzzzdzdzdzzzz0022coscos2!2!zziizz03.12设fz在1z上解析且01f，试求：11122zfzzdzizz。解：221112111222zzzfzfzfzzdzdzizzizz20201zfzfz20221zzfzzfz20f