解析几何———直线与方程

本资料来源于《七彩教育网》、平面解析几何初步11．1直线与方程【知识网络】1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。【典型例题】[例1]（1）直线3y＋3x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7，则l2的斜率是（）A．7B．－77C．77D．－7（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．（5）从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是．[例2]一条直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。[例3]已知直线方程为ax－y＋2a＋1=0（1）若x∈（－1，1）时，y＞0恒成立，求a的取值范围；（2）若a∈（－16，1）时，y＞0恒成立，求x的取值范围；[例4]设动点P，P’的坐标分别为（x，y），（x’，y’），它们满足x'=3x+2y+1，y'=x+4y-3．若P，P’在同一直线上运动，问：这样的直线是否存在？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．oyx－21【课内练习】1．过点A（x，4）和点B（－2，x）的直线的倾斜角等于45°，则x的值为（）A．1B．－1C．22D．－22．直线ax+by+c=0同时通过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足（）A．abc0B．ac0且bc0C．b=0且ab0D．a=0且bc03．下列四个命题中的真命题是（）A．经过点P(x0，y0)的直线一定可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示D．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx＋b表示4．已知直线l1：ax-y-b=0，l2：bx-y+a=0，当a、b满足一定的条件时，它们的图形可以是（）5．将直线l1：x-y+3–2=0绕着它一面的一点（2，3）沿逆时针方向旋转15º，得直线l2，则l2的方程为．6．倾斜角α=120°的直线l与两坐标轴围成的三角形面积S不大于3，则直线l在y轴上的截距的取值范围为．7．经过点A（3，2）且在两轴上截距相等的直线方程是．8．某一次函数图象沿x轴正方向平移2个长度单位后，经过点P（－1，3），再沿y轴负方向平移1个长度单位后，又与原图象重合，求该一次函数解析式．9．设a，b是参数，c是常数，且a、b、c≠0，1a+1b=1c，证明：直线xa+yb=1必过一定点，求此定点的坐标．10．过点P（4，3）作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为3个平方单位，求直线l的方程。xyOAl1l2xyOBl1l2xyOCl1l2xyODl1l211、平面解析几何初步11．1直线与方程A组1．过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距为（）A．－32B．－23C．25D．22．直线ax＋by－2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A．2abB．|2ab|C．2abD．2||ab3．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．2B．3C．4D．54．已知M（2m+3，m），N（m-2，1）。（1）当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角；（2）当m∈时，直线MN的倾斜角为直角；（3）当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角。5．如图的四条直线l1、l2、l3、l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则k1，k2，k3，k4由小到大的排列顺序为．6．已知点A（-2，3）、B（3，2）。过点P（0，-2）的直线l与线段AB有公共点。（1）试求直线l的斜率的范围；（2）若点Q（m,3）在直线l上，求m的取值范围。7．已知直线（a－2）y=（3a－1）x－1（1）求证：无论a为何值，直线总经过第一象限；（2）直线l是否有可能不经过第二象限，若有可能，求出a的范围；若不可能，说明理由。8．光线从点A（2，1）射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B（4，3），试求点Q的坐标及入射光线的斜率。xyl1l2Ol3l4xylOPABB组1．A，B是x轴上的两点，点P的坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程是x－y＋1=0，则直线PB的方程是（）A．x－y－5=0B．2x－y－1=0C．x－2y＋4=0D．2x＋y＋7=02．直线ax＋3my＋2a=0(m≠0)过点（1，－1），则斜率k等于（）A．－3B．3C．13D．－133．直线ax＋(a＋1)y＋2=0的倾斜角大于60°，则a的取值范围是（）A．（0，＋∞）3(,)13B．（0，＋∞）C．3[1,)13D．（－∞，－1]4.已知两直线：1170axby,2270axby,都经过点（3，5），则经过点（a1,b1),(a2,b2)的直线方程是．5．若不管t取怎样的实数，点（－1＋4t，2＋3t)均在同一条直线上，这条直线的方程是．6．已知直线l:kx－y＋1＋2k=0(1)证明l经过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；（3）若直线不经过第三象限，求k的取值范围．7．直线l上有两点A（2，0）、B（6，4），直线l绕A旋转90°后得l′，同时B点到达C点，求C点的坐标．8．已知直线l经过点P（3，2），且与x轴y轴的正半轴分别交于点A，B，求l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线的方程．11、平面解析几何初步11．1直线与方程【典型例题】例1．（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－33．（2）C．提示：用斜率计算公式1212yyxx．（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式。（5）－32．提示：用斜率的定义．例2【解法一】设所求直线为xa+yb=1（ab≠0），由已知得a+b=6，2a+1b=1，解得a=3，b=3，或a=4，b=2．此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。当a、b中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和是6”，因而舍去。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。【解法二】若所求直线的斜率存在且不为0，设直线斜率为k，在y轴上的截距为b直线方程为y=kx＋b,由题知：1=2k＋b,且b－bk=6解之得：k=－1时b=3,或k=－12时b=2此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。当k=0或k不存在时不合题意。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。【解法三】设所求直线的斜率为k。当k存在时，设直线方程为y-1=k(x-2)，化为一般式得：kx-y-2k+1=0。分别令x=0，y=0得截距-2k+1，2k-1k，于是由题意得-2k+1+2k-1k=6。解得k=-1或k=-12。分别得直线x+y-3=0与x+2y-4=0。当k不存在时，直线方程为x=2，不合题意，舍去。综合上面的讨论知，直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。【解法四】由题知直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，显然斜率存在，设直线方程为ax+y+c=0，不难求得该直线在x、y轴上的截距分别为－ca和c，以下求解基本同解法二。例3（1）【解法一】由题知y=ax＋（2a＋1），当a＞0,x∈（－1，1）时，函数的值域为（a＋1,3a＋1）,要y＞0恒成立，只须a＋1≥0,即a≥－1，故a＞0满足题意。当a=0,x∈（－1，1）时，函数的值域为｛1｝,y＞0恒成立。当a＜0,x∈（－1，1）时，函数的值域为（3a＋1，a＋1）,要y＞0恒成立，只须3a＋1≥0,即a≥－13。综上所述，a＞－13。（1）【解法二】令y=f（x）=ax＋（2a＋1）,x∈（－1，1）时要y＞0恒成立，只须f（1）≥0且f（－1）≥0，即－a＋2a＋1≥0，且a＋2a＋1≥0，∴a≥－13（1）【解法三】化方程为点斜式y－1=a（x＋2）,直线过定点（－2，1），当x∈（－1，1）时，要y＞0恒成立，只须f（1）≥0，由此解得a≥－13（2）令y=g（a）=（x＋2）a＋1,将y看成是a的函数，当a∈（－16，1）时，y＞0恒成立，只需g（－16）≥0且g（1）≥0，即（x＋2）（－16）＋1≥0且x＋3≥0,∴－3≤x≤4例4设P，P’在同一直线：Ax+By+C=0上运动，则有Ax’+By’+C=0．将x'=3x+2y+1，y'=x+4y-3．代入Ax’+By’+C=0得(3A+B)x+(2A+4B)y+(C+A-3B)=0．它与直线Ax+By+C=0表示同一条直线．于是，3A+B=λA，2A+4B=λB，C+A-3B=λC．解得A:B:C=1:（-1）:4或A:B:C=4:8:（-5）．于是，满足条件的直线方程存在，其方程为x-y+4=0或4x+8y-5=0．【课内练习】1．A．提示：用斜率公式2．B．提示：直线通过第一、第二、第四象限，说明此直线的斜率为负且直线在y轴的截距为正．可将直线方程化为斜截式：y=－abx－cb，从而－ab0且－cb0，于是ab0且bc0，由此可得abbc0，故有ac0．3．B．提示：注意斜率不存在的情况．4．B．提示：依据a，b的正负取值情况分类讨论．5．3x－y－3=0．提示：考虑旋转前后两直线的倾斜角关系．6．[－6，6]．提示：用截距式方程求解．7．2x-3y=0或x+y=5．提示：因题目本身涉及了两轴的截距，故可联想使用直线的截距式方程加以求解．注意：斜率相等可同时为零．8．y=－12x＋32．提示：一次函数的图像是直线，该直线的斜率即1122，且点P沿y轴负方向平移1个长度单位后落在直线上，我们用点斜式写出直线方程．9．将1=(1a+1b)c代入直线方程得xa+yb=ca+cb，显然过定点（c，c）．10．设所求直线方程为y－3=k（x－4）,令y=0,得x=4k－3k,令x=0,得y=3－4k,由题知12│4k－3k│·│3－4k│=3，解得k1=32,k2=38,∴l的方程为3x－2y－6=0,或3x－8y＋12=011、平面解析几何初步11．1直线与方程A组1．A．提示：用两点式直线方程．2．D．提示：注意截距为负的情况．3．B．提示：用截距式方程，结合基本不等式．4．（1）(-∞，-5)∪(1，+∞)；（2）{-5}；（3）（-5，1）提示：用斜率公式，解不等式．5．k3k40k1k2提示：数形结合．6．（1）由斜率公式kPA=-52，kPB=43。当直线l的倾斜角大于90而小于PA的倾斜角时，k≤kPA=-52；当直线l的倾斜角小于90而大于PB的倾斜角时，k≥kPB=43。故要使直线l与线段有公共点，l的斜率k的范围为),34[]25,(。（2）当m=0时，直线PQ的斜率不存在，但直线PQ与线段AB有交点，符合题意。当m≠0时，直线PQ的斜率为5m，要使直线l与线段有公共点，则5m≤－52或5m≥43，解之得－2≤m＜0，0＜m≤154综上所述，直线PQ与线段AB有交点时，m的取值范围是（－2，154）7．（1）因直线经过点（15，35），故直线经过第一象限。（2）有可能。a≥28．【解法一】设Q（0，y），则有kQA=-k