第二讲证明不等式的基本方法(二).

上节课，我们认识了证明不等式的三种基本方法：第二讲证明不等式的基本方法（二）比较法分析法综合法作差（或作商）尝试！转化尝试！（执果索因）联想尝试！（由因导果）12nBBBBA12nAAAAB3答案1放缩法接上一节的练习:1.(课本第22页例2)（为什么糖水加糖会变甜？）已知,,abm都是正数,并且ab,求证:amabmb.2.(课本第24页例2)（重要不等式是联想的基础）已知12,,,naaaR,且121naaa,试证:12(2)(2)(2)3nnaaa≥3.(课本第26页习题2.2第9题)(分析法是解题的绝招)已知1a,1b,求证:1abab3.(课本第26页习题2.2第9题)(分析法是解题的绝招)已知1a,1b,求证:1abab证明:∵要证:1abab,只要证221abab即2222122ababaabb,只要证22221abab,只要证222210abab,只要证22(1)(1)0ab∵1a,1b∴21a,21b∴2210,10ab∴22(1)(1)0ab,∴1abab1.(课本第22页例2)（为什么糖水加糖会变甜？）已知,,abm都是正数,并且ab,求证:amabmb.法一:直接作差比较(见课本)法二:作商比较(∵,,abm都是正数)法三:分析法(先转化再证)法四:综合法(直接由条件出发……)法五:(放缩法)∵,,abm都是正数,ab,∴bmam∴()()()()ambamabbmabamabmbbmbbmbbmb∴amabmb.方法五是通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,讲这种证明方法称为放缩法.思考一:试证下面的不等式:1.已知0,0,ab求证:122.≥abab2.已知函数(),[0,),1xfxxx(1)求证:()fx在[0,)为增函数;⑵△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证:abcamcmbm.3.(课本第28页例3)已知,,,abcdR求证:12abcdabdbcacdbdac2答案证明:⑴∵设12,0,xx且12xx,则120xx,110x,210x∵1212121212()()11(1)(1)xxxxfxfxxxxx,∴12()()0fxfx,∴)(xf在),0[为增函数.⑵∵在△ABC中有a+bc0,∴f(a+b)f(c)，即abcabmcm.又∵a，bR*，∴abababamamabmabmabm，∴abcambmcm.2.已知函数(),[0,),1xfxxx(1)求证:()fx在[0,)为增函数;⑵△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证:abcamcmbm思考二:证不等式直接法较难解时可考虑用反证法.1.已知2()fxxpxq，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有一个不小于21.1答案2答案2.已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)已知2()fxxpxq，求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中至少有一个不小于21.分析：设|(1)|,|(2)|,|(3)|fff中没有一个大于或等于21，观察：(1)1,(2)42,(3)93fpqfpqfpq得：(1)2(2)(3)2fff所以2=|(1)2(2)(3)|fff≤|(1)|2|(2)||(3)|fff21+2×21+21=2这是不可能的，矛盾表明原结论成立。证明：略.说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一种可能，所以属于归谬反证法.证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+ca0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0练习2.已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0222211112123n4.n为正整数,求证:作业:课本30P习题2.3第1、3、6题.课外思考:1.如果ab,1ab,求证:2222()abab≥2.已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1，求证:41414121abc≤.3.在锐角三角形ＡＢＣ中，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC1ab()()11254≥abab5.已知,求证:4.若n是自然数，求证222211112.123n证明：21111,2,3,4,,.(1)1knkkkkk22221111111112311223(1)nnn=1111111()()()112231nn=122.n注意：实际上，我们在证明222211112123n的过程中，已经得到一个更强的结论2222111112123nn，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想.课外训练:3.设332ab，求证:2.ab≤4.设n为大于1的自然数,求证:11111.12322nnnn5.已知,,,,,abcxyz都是正数,且,xyzabc求证:.xxyzzaabcc6.设0ab,试用反证法证明sinsinaxbaxb不能介于abab与abab之间.223330,0,:xyxyxy1.已知求证221ababab≥2.求证:作业:课本30P习题2.3第1、3、6题.3.设332ab，求证:2.ab≤证明：假设2ab，则有薄，从而32333228126,61286(1)2.abbbabbbb因为26(1)22b≥，所以332ab，这与题设条件332ab矛盾，所以，原不等式2ab≤成立.