第二讲证明不等式的基本方法(一).

前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式xa≤和xa≥的解集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面，我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322第二讲证明不等式的基本方法(一)尝试1：作差比较，作差——变形——定符号尝试2尝试3根据a－b0ab，欲证ab只需证a－b0.证明：∵3322()()ababab=22()()aabbab=22()()abab=2()()abab∵,ab是正数，且ab,∴0ab,2()ab0∴3322()()ababab0,∴3322ababab注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法,另外，有时还可作商比较(如课本第22页例3).思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322尝试2：转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止.其逻辑关系是：12nBBBBA.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322证明：∵0,0,abab且∴要证3322ababab,只要证22()()()abaabbabab,只要证22aabbab,只要证2220aabb.∵0ab,∴2()0ab即2220aabb得证.注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!（如课本第24页例3）尝试3:联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12nABBBB.思考一：已知ab,是正数，且ab，求证：ababab3322证明：∵0,0,abab且∴3222aabab,3222bbaab,∴32322222aabbbaabab,∴3322ababab注：综合法的思维特点是：执因索果.基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。（如课本第23页例1、第24页例2）思考二.(课本第25页例4)已知,,0,abc求证:222222abbccaabcabc≥.证明不等式的常用的方法有:比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个证明过程.课堂练习:1.已知,,,abxyR且11,xyab,求证:xyxayb.2.(课本第23页习题2.1第4题)已知,,abc是正数,求证:222abcbcacababcabc≥3.(课本第22页例2)已知,,abm都是正数,并且ab,求证:amabmb.4.(课本第24页例2)已知12,,,naaaR,且121naaa,求证:12(1)(1)(1)2nnaaa≥5.(课本第26页习题2.2第9题)已知1a,1b,求证:1abab课外练习:1.若实数1x，求证：24223(1)(1).xxxx2.非负实数x1、x2，且x1+x2≤1，求证：12121111xxxx≥3.已知,ab是不相等正数,且3322,abab求证:413ab.作业:课本26P习题2.2第1、2、3题.log(1)axlog(1)ax01,01aax且4.比较与的大小（）.1．若实数1x，求证：24223(1)(1).xxxx证明：采用差值比较法：24223(1)(1)xxxx=2424233331222xxxxxxx=432(1)xxx=222(1)(1)xxx=22132(1)[()].24xx22131,(1)0,()0,24xxx且∴22132(1)[()]0,24xx∴24223(1)(1).xxxx2．非负实数x1、x2，且x1+x2≤1，求证：12121111xxxx≥证明：12120,0,1,xxxx≥≥≤121210,10,10xxxx≥≥≥要证12121111xxxx≥，只要证221212(11)(11)xxxx≥即证：1212121212221221xxxxxxxxxx≥只要证：120xx≥120xx≥成立，故原不等式也成立。附课本例3.已知,ab是正数，且ab，求证：abbaabab证明：∵,ab是正数，且ab，∴要证abbaabab,只要证lg()lg()abbaabab,只要证lglglglgaabbbaab.(lglg)(lglg)aabbbaab=()(lglg)abab∵ab与lglgab同号，∴()(lglg)abab0(lglg)(lglg)0lglglglg,aabbbaabaabbbaab∴abbaabab