棱锥它的性质.

与它的性质棱锥这些物体给我们以棱锥的形象塔的顶部观察图形,它们具有哪些特点？§9.9.4棱锥与它的性质•我们从生活中顶尖底平带棱的锥体的实物形状的感性认识，根据我们观察图形所具有的特点，能说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？•有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥.SABCDE棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的侧棱SABCDEO棱锥的概念•这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥棱锥的表示棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示．SABCDE记法：棱锥S–ABCDE或棱锥S-AC棱锥的分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……三棱锥A-BCDABCDVABCD四棱锥V-ABCDSABCDE五棱锥S-AC各面都是全等的等边三角形的三棱锥叫做正四面体•特殊的棱锥—正棱锥•正棱锥的概念：•如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．SABCDEABCDSABCDO棱锥的性质1.一般棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.HSABCDEA’B’C’D’E’H’已知：在棱锥S–AC中，SH是高，截面A’B’C’D’E’平行于底面，并且与SH交于H’。求证：截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE，并且SA’B’C’D’E’SABCDE=SH’2SH2HSABCDEA’B’C’D’E’H’证明：因为截面平行于底面，所以A’B’//AB，B’C’//BC，C’D’//CD，…….∴∠A’B’C’=∠ABC，∠B’C’D’=∠BCD…….又因为过SA、SH的平面与截面和底面分别交于A’H’和AH∴A’H’//AH由此得A’B’AB=SA’SA=SH’SH同理B’C’BC=SH’SH…∴A’B’AB=B’C’BC=SH’SH…=因此截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE∴SA’B’C’D’E’SABCDE=A’B’2AB2=SH’2SH2•思考截面和底面的面积的比是否等于截得的棱锥的多边形边长与已知棱锥的相应的多边形边长的平方比？你还能得到一些什么结论？SABCA’B’C’A’B’C’D’E’SABCDE•说明对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方.所以，定理可以另表述为：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的有关线段长与已知棱锥的相应线段长的平方比.•2.正棱锥的性质：•如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．•正棱锥的除了前面的截面性质外，你还能得到哪些其他性质？SABCDOE性质1、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。性质2、棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。2.正棱锥的性质：SABCDOE例1、判断正误：（1）正棱锥的侧面是正三角形；（2）正棱锥的侧面是等腰三角形；（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等；（5）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（6）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.例题分析•例2、已知:正四棱锥S-ABCD中,底面边长为2a,侧棱长为2a求:（1）斜高;（2）侧棱和底面所成角;（3）侧面和底面所成角的正弦值.SABCDOE例2、已知:正四棱锥S-ABCD中,底面边长为2a,侧棱长为2a求:（1）斜高;（2）侧棱和底面所成角;（3）侧面和底面所成角的正弦值.SABCDOE(1)3a本题答案：(2)46(3)3OMSBhh’Rra2正棱锥中的基本图形推广到一般正棱锥中都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥的关键部分.它集中反映了正棱锥的线面关系，将正棱锥中基本量l，h，h′，a，R，r，以及侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成的角β，通过四个直角三角形有机地联系在一起，因而解题时可将题目中各量转化到这个小三棱锥中进行计算.SABCDOMl例3、如图，已知正三棱锥S–ABC的高SO=h，斜高SM=l，求经过SO的中点且平行于截面△A’B’C’的面积。SABCOA’B’C’O’M分析：连结OM、OA。在Rt△SOM中，OM=√l2-h2点O是正三角形ABC的中心，AB=2AM=2•OM•tan600S△ABC=43AB2=43×4×3（l2-h2）根据棱锥截面的性质，有S△A’B’C’S△ABC=41S△A’B’C’=433（l2-h2）过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面1.已知正三棱锥的底面边长为a，过各侧棱中点的截面面积为316a2练习过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面，棱锥的中截面面积等于底面面积的1/42.一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，求棱锥的高被分成的两段（自上而下）的比2：2（2）3.三棱锥A—BCD中,AC=BD,AD=BC,AB=CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为α、β、γ，求cosα+cosβ+cosγ的值.ABCD略解如图所示，由已知所有侧面三角形和底面三角形都是全等的三角形，记其面积为S，侧面在底面的射影面积分别为S1、S2、S3，则cosα+cosβ+cosγ=（S1+S2+S3）/S=1SABCs2s3s1•小结•有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥.•如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．•如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高（有关线段长）与已知棱锥的高（相应线段长）的平方比.•正棱锥的性质：性质1、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，斜高相等。性质2、棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。推广到一般正棱锥中都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥的关键部分。它集中反映了正棱锥的线面关系，将正棱锥中基本量l，h，h′，a，R，r，以及侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成的角β，通过四个直角三角形有机地联系在一起，因而解题时可将题目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算。正棱锥中的基本图形SABCDOMOMSB•作业1.教材P62第7、8题2.思考：将正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正六棱锥中基本量l，h，h′，a，R，r，以及侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成的角β，通过四个直角三角形将它们联系在一起，找出它们之间的关系。§9.9.4棱锥与它的性质习题课1.一个棱锥被平行于底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，求棱锥的侧棱被分成的两段（自上而下）的比。2.已知正四棱锥的相邻两侧面的夹角为120°，它的底面边长为a,求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长.练习•解：过S作SO⊥底面AC，SG⊥BC，O、G为垂足，过点A作AE⊥SB，垂足为E，连结CE.∵△SAB≌△SBC，∴CE⊥SB∴∠AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角的平面角.∴∠AEC=120°，连结EO∵AO=CO，AE=EC∴∠AEO=60°•棱锥的斜高为a,高为a/2,•侧棱长为a.2223•例1已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为φ，底面边长为a，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高．•解作出正六棱锥的特征图形，如图，过底面中心O作OM⊥AB于M，连SM，则由三垂线定理SM⊥AB，∠SMO=φ，AM＝a/2OMSA在Rt△SAO中注图形较复杂时，可以作出与已知数量和所求数量有关的特征图•例2.将正方体截去一个角，求证：截面是锐角三角形.已知：正方体中截去以P为顶点的一角得截面ABC.求证：ΔABC是锐角三角形.P例3.四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小；（2）当的值等于多少时，能使PB⊥AC？请给出证明.（1）设平面PAB∩平面PCD=l∵AB∥CD，∴AB∥面PCD.∴AB∥l，CD∥l，∵平面PAD⊥平面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PA，AB⊥PD，∴l⊥PA，l⊥PD，∴∠APD为二面角AB－l－CD的平面角，∵△PAD为正三角形，∴∠APD=60°.•证明：如图，P—ABC是一个四面体.∵ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是直角三角形.∴则z2＝(a2+b2-c2)/2∵z≠0，∴a2+b2-c2＞0即c2＜a2+b2,∴b2＜a2+c2.∴∠BAC,∠ABC都小于90°.∴ΔABC为锐角三角形.P§9.9.5直棱柱和正棱锥的直观图的画法1.直棱柱的直观图的画法(1)x’y’O’z’ABCDEF直棱柱的直观图的画法(2)x’y’O’z’ABCDEFA’B’C’D’E’F’直棱柱的直观图的画法(3)x’y’z’ABCDEFA’B’C’D’E’F’2.正棱锥的直观图的画法(1)x’y’O’z’ABCDE正棱锥的直观图的画法(2)x’y’O’z’ABCDES正棱锥的直观图的画法(3)ABCDES正六棱锥ABCDEF•补充内容.棱锥的面积(1)正棱锥的侧面积棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．设正n棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，则展开图的面积等于n·ah'=ch'．1212•(2)正棱锥的侧面积公式:如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h‘，那么它的侧面积是S正棱锥侧•(3)棱锥的全面积:棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和．•棱锥的体积公式：如果棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是V三棱锥=sh．13ShVVVVBDCCADBDCACDCACDDA31311111棱柱棱锥棱锥棱锥棱锥体积公式研究例如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.问：这几个三棱锥的体积关系如何？CDABCD1ADCC1D1A结论：底面积是S,高是h的棱锥体积为V棱锥=Sh31ABDCD1C1解：∵三棱锥A-DD1C,三棱锥A-D1C1C等底等高。CDCACDDAVV11棱锥棱锥∵三棱锥C-D1DA,三棱锥C-ABD等底等高。ABDCDADCVV棱锥棱锥1•利用三棱锥的体积公式求点到平面的距离的大致步骤（1）把点到平面的距离看成一个三棱锥的高（2）求与此高对应的底面的面积；（3）转换顶点或用割补法求出此三棱锥的体积；（4）利用三棱锥体积的自等性（计算三棱锥的体积时，可以把三棱锥先看成四面体，把它的四个顶点中的任何一个作为三棱锥的顶点，而把不含这个顶点的面作为三棱锥的底面，即如果三棱锥是A-BCD，那么有VA-BCD＝VB-CDA＝VC-DAB＝VD-ABC，这一性质称为三棱锥体积的自等性。这是三棱锥独具的性质）列出方程求高。CDAB练习已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.求：棱锥C1-BA1D的体积？CDBAC1D1B1A1D1B1ACC1BA1DADD1BCC1DBB1BC1A1D1A1DC1求：棱锥C1-BA1D的体积？CDBAC1D1B1A1解:111111DCBAABCDDBACVV正方体棱锥11111111CBABDCADBCDCBADAVVVV棱锥棱锥棱锥棱锥11143CBABVa棱锥33614aa331a331a所以棱锥C1-BA1D的体积为已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.§9.9.6正多面体（1）正多面体定义：每个面都是相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫