9.8棱-锥(四个课时)

9.8棱锥(1)棱锥的概念和性质我们常的一些物体，例如图中的帐篷和金字塔，它们都给人以顶尖底平的带棱的锥体的印象.观察下列几何体并思考：它们具备哪些几何体特征?1)定义:棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的几何体叫做棱锥。棱锥的底面2)基本概念棱锥的侧面棱锥的侧棱棱锥的顶点棱锥的高棱锥3)表示法:ABCDSE1）用表示顶点和底面各顶点的字母来表示。例如：图中的棱锥记作：棱锥S-ABCDE2）用表示顶点和一条对角线端点的字母来表示。图中的棱锥记作：棱锥S-AC4).棱锥的分类SABCDESABCDOMSB三棱锥四棱锥五棱锥正棱锥底面是正多边形顶点在底面射影为底面中心其他棱锥(注意:底面有可能是正多边形)SABCDSABCDE底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥棱锥正棱锥是一类特殊的棱锥。例1、判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，（2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．例2．有下列棱锥：①各侧棱都相等的棱锥．②底面是正多边形的棱锥．③顶点在底面上的射影是底面多边形外接圆圆心的棱锥．④侧面都是全等的等腰三角形的棱锥，其中为正棱锥的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5)棱锥的性质SABCDEOA’B’C’E’D’22''''''SHSHSSABCDEEDCBA截面''''DCBAABCDE∽底面棱锥5)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且他们的面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。（面积比=相似比的平方）注:如果两个多边形的各对应角相等,各对应边的比也相等,那么这两个多边形是相似多边形.相似多边形的面积比等于对应边的平方比.中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面ABCDSHH´A´B´C´D´已知:在棱锥S－AC中，SH是高，截面A'B'C'D'平行于底面，并与SH交于H'。求证：截面A'B'C'D'∽底面ABCD，并且22SHHSSSABCDDCBA证明：因为截面平行于底面，所以A'B'∥AB，B'C'∥BC,C'D'∥CD,…∴∠A'B'C'=∠ABC,∠B'C'D'=∠BCD,…又因为SA、SH的平面角与截面和底面分别交于A‘H’和AH,∴A‘H’∥AH,由此得.SHHSSAASABBA---,,SHHSBCCB同理.---SHHSBCCBABBA因此,截面A'B'C'D'∽底面ABCD2222SHHSABBASSABCDDCBA1、棱锥底面面积是S，过棱锥的高中点作平行于底面的截面（中截面），此截面的面积为。2、一棱锥被平行于底面的截面所截，若截面与底面的面积之比为1：2，则顶点到截面的距离与截面到底面的距离比为。例3．AABCDEHCSBDHE例4．一棱锥被平行于底面的截面所截，顶点到截面的距离与截面到底面的距离比为2：3，则截面与底面的面积比为（）（A)2:5(B)4:25(C)2:3(D)4:9B例5．一棱锥被平行于底面的截面所截，截面与底面的面积比为1：3则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（）（A)1:3(B)1:2(C)1:(D)1:-133棱锥例6．已知：正三棱锥S－ABC的高SO=h,斜高SM=l，求经过SO的中点且平行于底面的截面ΔA'B'C'的面积..ABCA´B´C´OSO´M解：连结OM、OA。在RtΔSOM中，.22hlOM因为棱锥S-ABC是正棱锥，所以点O是正三角形的中心。∴AB=2AM=2·OM·tan6002232hl根据棱锥截面的性质，有)(33)(34434322222hlhlABSABC41ABCCBASS)(43322hlSCBA课堂小结:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的几何体叫做棱锥。底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且他们的面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。（面积比=相似比的平方）1、定义：2、棱锥的性质：§9.8棱锥(2)S回顾：棱锥的定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.ABDOCE多边形三角形SABDOCE正棱柱——棱锥？此棱锥的特点：1.底面为正多边形2.顶点在底面的射影恰好是底面正多边形的中心……正棱柱：1.底面为正多边形2.侧棱与底面垂直O探索s正棱锥的定义底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥成果例如：正五棱锥S-ABCDEOSACDEB如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.埃及金字塔如图，在正五棱锥中，SO为高，M、N分别为AB、CD的中点。1）侧棱SA、SB、…是否相等？M（1）各侧棱都相等，N各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高相等，看一看正棱锥的性质（1）它叫做正棱锥的斜高.OSABCDE一、正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.二、正棱锥的性质2）哪个角是SC与底面所成的角？哪个角是二面角S-AB-O的平面角？成果SN成果②侧面与底面所成的二面角都相等2）哪个角是SC与底面所成的角？哪个角是二面角S-AB-O的平面角？①侧棱与底面所成的角都相等看一看OABCDEM如图，在正五棱锥中，SO为高，M、N分别为AB、CD的中点。1）侧棱SA、SB、…是否相等？一、正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.各侧面都是全等的等腰三角形.二、正棱锥的性质它叫做正棱锥的斜高.（1）各侧棱都相等，各等腰三角形底边上的高相等，其它规律：1.底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？2.侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥吗？【不一定】（因为顶点在底面内的射影不一定是底面中心.如图1）反例：如图2，AV=AC=BV=BC=2，AB=VC=1【不一定】想一想（图2）SOABCDE（图1）CVAB解：过V作VO面ABC，O是垂足，由题设可知点O为正ABC的中心，VDO是侧面VAB与底面ABC所成二面角的平面角，即VDO=60。在RtVOC中:VC=22VO+CO=21ABDOVC在正三角形ABC中，AB=6,3∴CD=AB=33223,12∴OD=CD=3OC=CD330tan60ODO在RtΔVOD中：V3336600设D是AB的中点，连结VD、CD，则CD必过O点,且CDAB，VDAB已知正三棱锥V－ABC，底面边长为6，侧面与底面所成的二面角为60。,求它的高和侧棱长。做一做OSABCDE（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三形（如RtSMO）；MABMOSC二、正棱锥的性质成果棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形（如：RtSBO）.正棱锥的性质（2）OSACEMOSBM对一般的正棱锥*都有四个基本的直角三角形：RtSBO、RtSMO、RtOMB、RtSMB；*都存在一个基本的小三棱锥OSABDEM涉及到正棱锥的相关元素：1.线：2.角：侧棱与底面所成的线面角SBO侧面与底面所成的二面角SMOhh’rRa/2高h、斜高h’、底面外接圆半径R和内切圆半径r、底面边长的一半a/2侧棱l、lBOACEM已知底面边长是a,高为h.求下列棱锥的侧棱与底面所成角的正切与侧面与底面所成角的正切的比值.①正三棱锥②正四棱锥③正六棱锥练习答案：①②③122232AMOVBBCCADVOMVMBO数学之奇、妙、美无处不在思考题：正三棱锥各棱长均为a,求它的体积。答案：V=a32129.8棱锥（四）复习：1。画正棱柱直观图的基本步骤？2。画图的要点是什么？一.正棱锥直观图的画法•例：画一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱锥的直观图，比例尺为1：5。二.多面体•仔细阅读课本57页“多面体”内容，回答下列问题：（1）什么叫多面体？（2）多面体有几种分类方法？各分为哪几类？（3）三棱锥、四棱锥、正方体分别为几面体？（4）用图示法画出多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、平行六面体各集合的包含关系。阅读课本57页“正多面体”部分，回答下列问题：1。正多面体的定义是什么？2。正多面体有几种？分别是什么？例2：求棱长为a的正八面体的体积V和全面积S.例3：（2004年高考题）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则T/S等于（）A.1/9B.4/9C.1/4D.1/3小结：1。正棱锥直观图的画法2。多面体和正多面体