一元二次方程根的分布

思考：•可否用二次函数的相关知识来理解或解决一元二次方程相关问题？•可以。如用二次函数的图像与x轴交点的位置来判断实根的位置。•一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根、负根、一正一负根等情况，其中有何规律？•这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本节课研究的内容。★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。24bac2bxa()fmx在某个范围内的实根分布问题、关于x的一元二次方程x2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。21212340300(m)mxxmxxm01mm你首先想到了什么方法？韦达定理你还有其他思路吗？能从二次函数入手思考该问题吗？解：设方程的两实根分别为x1、x2，则解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=02a20=m0f()＝问题、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。{m|0＜m≤1}xy比较两种思路，作出评价：21212340300(m)mxxmxxm2(3-m)-4m0b3-m-=02a20=m0f()＝法一：韦达定理法法二：二次函数法1、形式不同，本质一样；2、在本问题中韦达定理法更简洁。以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？问题：关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。问题是数学的心脏，是我们思维的起点。（1）两正实根(已解决)（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）两实根中，一根大于1，一根小于1；（8）两实根中有且只有一根在(0,2)；（9）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（11）一个根小于2，一个根大于4。方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。其他问题：特点：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(11)都是两根在不同的区间内。现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”分成两组研究:第一组：(1)-(5)第二组：(6)-(11)这么多问题如何在最短时间内解决？问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（2）有两个负根9mm解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则21212340300(m)mxxmxxm（2）有两个负根问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解法二：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=02a20=m0f()＝9mmyx（3）两个根都小于1022)1(123204)3(2mfmabmm9mm问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件：yx1（4）两个根都大于0.5234030522650504(m)mbm.amf(.)问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件：0.5xyO（5）两个根都在（0,2）内2340322002320(m)mm0f()mf()m12mm3问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在0与2的之间，由图像知只需满足以下条件：yx2O根据研究，请解决以下问题：1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一个区间内时，限定时要考虑哪些方面？开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值小结两个根都小于k两个根都大于kyxk0)(20kfkab0)(20kfkabkxy一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布两个根都在（k.k)内210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根0mm解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则2123400(m)mxxm解法二：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：0=m0f()0mmxy问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根（7）一个根大于1，一个根小于11mmf(1)=2m-20问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：1xy（9）一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内04)3(022)1(0)0(010)2(mfmfmfmfØ问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在－2与0的之间，一个在1与3之间，由图像知只需满足以下条件：-2O13xy（10）一个根在（-2,0）内，另一个根在（0,4）内045)4(0)0(010)2(mfmfmf054mm问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在－2与0的之间，一个在0与4之间，由图像知只需满足以下条件：-2O4xy（11）一个根小于2，一个根大于4045)4(023)2(mfmf54mm问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在2以左，一个在4以右，由图像知只需满足以下条件：2O4xy2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，限定要考虑哪些方面？开口方向、区间端点函数值一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布小结两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(k1,k2)x2∈(p1,p2)f(k)f(k)0特别的：要验证特殊情况1212120000f(k)f(k)f(p)f(p)k1k2p1p2xyyxkk12O一个根小于k，一个根大于kkxyf(k)0,3、由此请你总结解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根是在同一区间还是不同区间；（2）分别用相应的限制规律得到相应不等式（组）；（3）求解不等式即得相应参数的范围。课堂总结：紧紧以函数图像为中心，将方程的根用图像直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。1(1)a2例：若方程2ax-x-1=0在x(0,1)内恰有一解，则的取值范围是____________(1,)223例：方程x-x=k在(-1,1)上有实数根，求k的取值范围。2222339()241639(1,1),,,41639595(1),.4162162minxxxxxkkk解二：k当时且2{(,)|2},{(,)|10,AxyyxmxBxyxy变式：集合02},,xAB且若求实数m的范围。222,(1)10,10yxmxyxmxxy解：将消去得21)10[02]xx由题意得：（m=在，内有解，2设f(x)=x+(m-1)+1,显然有f(0)0,所以2(1)401(2)0022(2)0mmff或331,22mm或,1m22例4：若二次函数f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点C(c,0),使f(c)0,则实数的取值范围为______11(1)023(1)03ppfpfp正难则反：或3或p32或p2332，52例：设不等式2x-1m(x-1)对满足m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。2解：原不等式为（x-1)m-(2x-1)0,2设f(m)=(x-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[-2,2]内恒为负时应满足的条件，得22(2)02(1)(21)0(2)02(1)(21)0fxxfxx即7131,22x解得：2[1,1]()(4)42afxxaxa练习:1、对任意，若函数的值为正，则x的取值范围是________,13,222.01,21xyxaxa若，则y0时,a的范围是_________21aa或23.1220xxaxa当时，不等式恒成立，则a的范围___________4,3a