量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.8-3#1

3.8一维运动的粒子处在()x0xAxe(0)(0)xx当当(0)求2x2p.解：我们知道，2x2x2xx*xdx2320xAxedx2438A于是，22243()8xA48964A而2x*2xdx2420xAxedx2534A另外，由归一化条件可得A与的关系：2220xAxedx234A12x2x2x245839464AA22394234p*idxx222xiAxxedx22331242iA02p22*2dxx22202xxxAxeexedx224A于是2p22224A所以22234xp3.9粒子处在lmY态，求：(i)ˆxL和ˆyL的平均值xL，yL；（ii）2xL，2yL．解：（1）设ˆˆˆxyLLiL，ˆˆˆxyLLiL则1ˆˆˆ2xLLL，ˆˆˆ2yiLLL则ˆˆLLˆˆLLˆˆˆˆ()xyxyLiLLiL22ˆˆˆˆˆˆxyxyyxLLiLLLL222ˆˆˆzzLLiL22ˆˆˆzzLLL类似的，22ˆˆˆˆˆˆˆzzLLLLLLL按角动量理论可得：ˆ,()(1),1Llmlmlmlmˆ,()(1),1Llmlmlmlm又，ˆ,,lmLlm,()(1),1lmlmlmlm0ˆ,,lmLlm,()(1),1lmlmlmlm0于是，xLˆ,,xlmLlm1ˆˆ,,2lmLLlm0yLˆ,,ylmLlmˆˆ,,2ilmLLlm0（2）2xL221ˆˆˆ,,,,4xlmLlmlmLLlm1ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,4lmLLLLLLLLlm1,((1))((1)1)()(1),24lmlmlmlmlmlm1,((1))((1)1)()(1),24lmlmlmlmlmlm1,((1))((1)1)()(1),114lmlmlmlmlmlm1,((1))((1)1)()(1),114lmlmlmlmlmlm2211(1)()(1)()44lmlmlmlm2222214llmmllmm22212llm由对称性，2xL也应等于22212llm。3.10利用不确定原理估算氢原子基态能量．（解）本题原是三维问题，但作为估计，作如下近似：22ˆˆ2peEmr（1）取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零，0p，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此22()pp．此外，可以计算得在氢原子情形，23ar223ar，因而32ara。此外ar1)1(，222)1(ar，所以11()ra，因此为计算方便，可取11()rr(2)对能量关系式取平均值2222()()22pepeEmrmr（3）利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但p与r之间并无已知的对易关系式，此可作一维问题处理，认为2pr，并用pr（4）则（3）式成为：22()()()2peEppm224422212{()}22mememeppm24221()22memepm当取2mep时，E有极小值4min22meE就是基态能量另外，对于r的值，计算过程如下：Kramers导得有关r，1r，2r，三者的递推式如下：1222221(21)[(21)]04rarlarn（1）它的证明根据有关r的微分方程式[从略]，在运用此式时，可先令=1代入（1）式得：021223(1)0rarllarn（2）式中1r是与电子势能平均值成正比的（相差系数2e）222()[].revRrrdrr根据维里定理，在库仑场情形VT21能量关系式：nE=VT222222()2neeVEnana121rna(3)又径向波函数归一化条件相当于0r的情形，因而01r（4）（3）和（4）代入（2），得：222221(1)3(1)322nnallrallanan将=2代入（1）：2220235(443)02ararllrn（5）将r和01r代（5）得：2r222229931532nnalln（6）2r的表示式不能由（1）求得，用直接积分可有：22311()2ranl对基态，1n，0l，代入便得1r、2r、r与2r。（参考：C.f.A.Messiah:QuantumMechanicsVolI.p.431.Ex.1.）