直线与圆锥曲线的位置关系练习题

直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是()A.52B.32C.43D.5解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±kx.由题知直线l的斜率为－2，则可知k＝14，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得x24－y2＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而c＝a2＋b2＝5，所以e＝52.答案：A2．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.36解析：由题意可知，抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线x212－y24＝1的渐近线为y＝±33x，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×±3|3＋9＝1.答案：A3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y2＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.答案：B4．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.答案：C5．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则|AB||CD|的值为()A．16B.116C．4D.14解析：由3x－4y＋4＝0，x2＝4y.得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，∴|AF|＝yA＋1＝54，|DF|＝yD＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.答案：B图16．如图1，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若三角形ABF2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为()A.5＋22B.5－22C.4＋22D.4－22解析：设|AF2|＝|AB|＝x(x0)，则|BF2|＝2x.由双曲线定义知，2x－|BF1|＝2a①，x－|AF1|＝2a②，由①②知x＝22a，∴|AF1|＝(22a－2a)．在Rt△F1AF2中，|AF1|2＋|AF2|2＝4c2.即(22－2)2a2＋(22a)2＝4c2，解得e＝5－22，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．斜率为3的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：图2如图2，过A作AA1⊥l，过B作BB1⊥l，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，直线l的倾斜角为60°，所以|AF|＝|AA1|＝|A1M|＋|AM|＝2＋|AF|·cos60°，所以|AF|＝4，同理得|BF|＝43，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝163.答案：1638．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA→1·PF→2的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则PA→1＝(－1－x，－y)，PF→2＝(2－x，－y)，PA→1·PF→2＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝18，∴当x＝1时，PA→1·PF→2取最小值－2.答案：－29．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为22，则m6＋m4＝________.解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y2＝2px，x＝my－m消去x，得y2－2mpy＋2pm＝0，∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm.又焦点(p2，0)在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m，∴|y1－y2|＝4m4＋m2，∴S△OAB＝12×p2|y1－y2|＝22，即－mm4＋m2＝2，平方得m6＋m4＝2.答案：2三、解答题(共计40分)10．(10分)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为255的椭圆的一个顶点是抛物线y＝14x2的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→.(1)求椭圆的方程；(2)证明：λ1＋λ2为定值．解：(1)由题易知b＝1，e＝1－ba2＝255，解得a2＝5，故椭圆的方程为x25＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，由F(2,0)，MA→＝λ1AF→，得x1＝2λ11＋λ1y1＝y01＋λ1.由MB→＝λ2BF→，得x2＝2λ21＋λ2y2＝y01＋λ2.又A、B在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知，λ1，λ2是方程λ2＋10λ＋5－5y20＝0的两根，所以λ1＋λ2＝－10为定值．11．(15分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝22，短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|F2M→＋F2N→|＝2263，求直线l的方程．解：(1)由条件有ca＝22，b＝a2－c2＝1，解得a＝2，c＝1.则椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)、F2(1,0)．若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1.将x＝－1代入椭圆方程得y＝±22.不妨设M(－1，22)、N(－1，－22)，∴F2M→＋F2N→＝(－2，22)＋(－2，－22)＝(－4,0)．∴|F2M→＋F2N→|＝4，与题设矛盾．∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x22＋y2＝1，y＝kx＋1，消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.由根与系数的关系知，x1＋x2＝－4k21＋2k2，从而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝2k1＋2k2.又∵F2M→＝(x1－1，y1)，F2N→＝(x2－1，y2)，∴F2M→＋F2N→＝(x1＋x2－2，y1＋y2)．∴|F2M→＋F2N→|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2＝(8k2＋21＋2k2)2＋(2k1＋2k2)2＝416k4＋9k2＋14k4＋4k2＋1.∴416k4＋9k2＋14k4＋4k2＋1＝(2263)2，化简得40k4－23k2－17＝0.解得k2＝1或k2＝－1740(舍去)．∴k＝±1.∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.12．(15分)(2011·江苏高考)图3如图3，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k0，求证：PA⊥PB.解：(1)由题设知：a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝－22－1＝22.图4(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得x24＋4x22＝1，解得x＝±23，因此P(23，43)，A(－23，－43)．于是C(23，0)，直线AC的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB的方程为x－y－23＝0.因此d＝|23－43－23|12＋12＝223.(3)证法一：将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1，解得x＝±21＋2k2.记μ＝21＋2k2，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为0＋μkμ＋μ＝k2，其方程为y＝k2(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝μ3k2＋22＋k2或x＝－μ.因此B(μ3k2＋22＋k2，μk32＋k2)．于是直线PB的斜率k1＝μk32＋k2－μkμ3k2＋22＋k2－μ＝k3－k2＋k23k2＋2－2＋k2＝－1k.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.证法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝0－－y1x1－－x1＝y12x1＝k2.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·y2－y1x2－x1·y2－－y1x2－－x1＋1＝2y22－2y21x22－x21＋1＝x22＋2y22－x21＋2y21x22－x21＝4－4x22－x21＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.