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第十四章极限与导数一、基础知识1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当nm且n∈N时，恒有|un-A|ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为)(lim),(limxfxfxx-¥®+¥®，另外)(lim0xfxx+®=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地)(lim0xfxx-®表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2．极限的四则运算：如果0limxx®f(x)=a,0limxx®g(x)=b，那么0limxx®[f(x)±g(x)]=a±b,0limxx®[f(x)•g(x)]=ab,0limxx®).0()()(¹=bbaxgxf3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0limxx®f(x)存在，并且0limxx®f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若xyxDD®D0lim存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作'f(x0)或0'xxy=或0xdxdy，即000)()(lim)('0xxxfxfxfxx--=®。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数'f(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。6．几个常用函数的导数：（1）)'(c=0（c为常数）；（2）1)'(-=aaaxx（a为任意常数）；（3）;cos)'(sinxx=(4)xxsin)'(cos-=;(5)aaaxxln)'(=;(6)xxee=)'(;（7）)'(logxaxxalog1=；（8）.1)'(lnxx=7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([xvxuxvxu±=±；（2）)(')()()(')]'()([xvxuxvxuxvxu+=；（3）)(')]'([xucxcu×=（c为常数）；（4）)()(']')(1[2xuxuxu-=；（5）)()()(')(')(]')()([2xuxvxuxvxuxuxu-=。8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=j(x)，已知j(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=j(x))处可导，则复合函数y=f[j(x)]在点x处可导，且（f[j(x)])'=)(')](['xxfjj.9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有0)('xf，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有0)('xf，则f(x)在(a,b)单调递减。10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则.0)('0=xf11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时0)('£xf，当x∈(x0,x0+δ)时0)('³xf，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时0)('³xf，当x∈(x0,x0+δ)时0)('£xf，则f(x)在x0处取得极大值。12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且0)('',0)('00¹=xfxf。（1）若0)(''0xf，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若0)(''0xf，则f(x)在x0处取得极大值。13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=xf[证明]若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，0)('=xf.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值mf(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=cf，综上得证。14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使.)()()('abafbff--=x[证明]令F(x)=f(x)-)()()(axabafbf---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('xF=0，即.)()()('abafbff--=x15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,0)(''xf,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,0)(''xf,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法与例题1．极限的求法。例1求下列极限：（1）÷øöçèæ+++¥®22221limnnnnnL；（2）)0(1lim+¥®aaannn；（3）÷÷øöççèæ++++++¥®nnnnn22212111limL；（4）).1(limnnnn-+¥®[解]（1）÷øöçèæ+++¥®22221limnnnnnL==+¥®22)1(limnnnn212221lim=÷øöçèæ+¥®nn；（2）当a1时，.111lim1111lim1lim=+÷øöçèæ=+÷øöçèæ=+¥®¥®¥®nnnnnnnaaaa当0a1时，.0010lim1lim1lim=+=+=+¥®¥®¥®nnnnnnnaaaa当a=1时，.21111lim1lim=+=+¥®¥®nnnnaa（3）因为.11211122222++++++++nnnnnnnnnL而,1111lim11lim,1111limlim222=+=+=+=+¥®¥®¥®¥®nnnnnnnnnn所以.112111lim222=÷÷øöççèæ++++++¥®nnnnnL（4）.211111lim1lim)1(lim=++=++=-+¥®¥®¥®nnnnnnnnnn例2求下列极限：（1）¥®nlim(1+x)(1+x2)(1+22x)…(1+nx2)(|x|1)；（2）÷øöçèæ---®xxx1113lim31；（3）xxxx+---®131lim21。[解]（1）¥®nlim(1+x)(1+x2)(1+22x)…(1+nx2)=.1111lim1)1()1)(1)(1(lim1222xxxxxxxxnnnn-=--=-+++-+¥®¥®L（2）÷÷øöççèæ--+-=÷÷øöççèæ----=÷øöçèæ---®®®32132131111lim113lim1113limxxxxxxxxxxx=.112lim1)2)(1(lim2131=+++=÷øöçèæ-+-®®xxxxxxxx（3）)13)(13()13)(1(lim131lim2121xxxxxxxxxxxx++-+--++--=+---®®=2)13)(1(lim)1(2)13)(1)(1(lim11xxxxxxxxxx++-+-=-++-+-®®.22-=2．连续性的讨论。例3设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。[解]当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t，则当t∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)ïîïíìÎ--Î--.3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222xxxxxx所以0)3)(2(4lim)(lim,0)2)(1(2lim)(lim222222=--==--=+®+®-®-®xxxfxxxfxxxx，所以-®2limxf(x)=+®2limxf(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。[解]因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则001xy=，切线的斜率为201|'0xxx-=，所以切线方程为y-y0=)(1020xxx--，即)(110200xxxxy--=-。又因为此切线过点（2,0），所以)2(110200xxx--=-，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4．导数的计算。例5求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）xxxxy-+=352；（3）y=ecos2x；（4）)1ln(2-+=xxy；（5）y=(1-2x)x(x0且21x)。[解]（1）=+×+=)'13()13cos('xxy3cos(3x+1).(2)222)'()35()'35('xxxxxxxxxy×-+-×-+=223521310xxxxxxx++-÷÷øöççèæ-+=.2153x+=（3）.2sin2)'2()2sin(2cos)'2(cos'2cos2cosxexxxexeyxx×-=×-×=×=（4）÷÷øöççèæ+-×-+=-+×-+=1111)'1(11'2222xxxxxxxxy.112-=x（5）))'21ln((]'[]')21[(')21ln()21ln(xxeexyxxxxx-==-=--.212)21ln()21(úûùêëé----=xxxxx5．用导数讨论函数的单调性。例6设a0，求函数f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。[解])0(121)('+-=xaxxxf，因为x0,a0，所以Û0)('xfx2+(2a-4)x+a20；Û0)('xfx2+(2a-4)x+a+0.（1）当a1时，对所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即'f(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a20，即0)('xf，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0a1时，令0)('xf，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-a-12或x2-a+a-12，因此，f(x)在(0,2-a-a-12)内单调递增，在(2-a+a-12,+∞)内也单调递增，而当2-a-a-12x2-a+a-12时，x2+(2a-4)x+a20，即0)('xf，所以f(x)在(2-a-a-12,2-a+a-12)内单调递减。6．利用导数证明不等式。例7设)2,0(pÎx，求证：sinx+tanx2x.[证明]设f(x)=sinx+tanx-2x，则)('xf=cosx+sec2x-2，当)2,0(pÎx时，2cos2cos1cos2cos1cos22=×+xxxxx（因为0cosx1），所以)('xf=cosx+sec2x