高中数学竞赛教案讲义(17)整数问题

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓第十七章整数问题一、常用定义定理1．整除：设a,b∈Z,a≠0，如果存在q∈Z使得b=aq，那么称b可被a整除，记作a|b，且称b是a的倍数,a是b的约数。b不能被a整除，记作ab.2带余数除法：设a,b是两个给定的整数，a≠0，那么，一定存在唯一一对整数q与r，满足b=aq+r,0≤r|a|，当r=0时a|b。3．辗转相除法：设u0,u1是给定的两个整数，u1≠0，u1u0,由2可得下面k+1个等式：u0=q0u1+u2,0u2|u1|；u1=q1u2+u3,0u3u2；u2=q2u3+u4,0u4u3；…uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0ukuk-1；uk-1=qk-1uk+1,0uk+1uk；uk=qkuk+1.4．由3可得：（1）uk+1=(u0,u1)；（2）d|u0且d|u1的充要条件是d|uk+1；（3）存在整数x0,x1，使uk+1=x0u0+x1u1.5．算术基本定理：若n1且n为整数，则kakaapppn2121，其中pj(j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。6．同余：设m≠0,若m|(a-b)，即a-b=km，则称a与b模同m同余，记为a≡b(modm)，也称b是a对模m的剩余。7．完全剩余系：一组数y1,y2,…,ys满足：对任意整数a有且仅有一个yj是a对模m的剩余，即a≡yj(modm)，则y1,y2,…,ys称为模m的完全剩余系。8．Fermat小定理：若p为素数，pa,(a,p)=1，则ap-1≡1(modp)，且对任意整数a,有ap≡a(modp).9．若(a,m)=1，则)(ma≡1(modm),(m)称欧拉函数。10．（欧拉函数值的计算公式）若kakaapppm2121，则(m)=.)11(1kiipm11．（孙子定理）设m1,m2,…,mk是k个两两互质的正整数，则同余组：x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解，x≡'1MM1b1+'2MM2b2+…+'kMMkbk(modM)，其中M=m1m2mk；iM=imM，i=1,2,…,k；iiMM'≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法与例题1．奇偶分析法。例1有n个整数，它们的和为0，乘积为n，（n1），求证：4|n。▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓2．不等分析法。例2试求所有的正整数n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解。3．无穷递降法。例3确定并证明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解。4．特殊模法。例4证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于10个奇数的平方和。5．最小数原理。例5证明：方程x4+y4=z2没有正整数解。6．整除的应用。例6求出所有的有序正整数数对(m,n)，使得113mnn是整数。▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓7．进位制的作用例7能否选择1983个不同的正整数都不大于105，且其中没有3个正整数是等差数列中的连续项？证明你的结论。三、习题精选1．试求所有正整数对(a,b)，使得(ab-a2+b+1)|(ab+1).2．设a,b,c∈N+，且a2+b2-abc是不超过c+1的一个正整数，求证：a2+b2-abc是一个完全平方数。3．确定所有的正整数数对(x,y)，使得x≤y，且x2+1是y的倍数，y2+1是x的倍数。4．求所有的正整数n，使得存在正整数m,(2n-1)|(m2+9).5．求证：存在一个具有如下性质的正整数的集合A，对于任何由无限多个素数组成的集合，存在k≥2及正整数m∈A和nA，使得m和n均为S中k个不同元素的乘积。6．求最小的正整数n(≥4)，满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a,b,c,d使20|(a+b-c-d).7.对于正整数a,n,定义Fn(a)=q+r，其中q,r为非负整数，a=qn+r且0≤r≤n，求最大正整数A，使得存在正整数n1,n2,…,n6，对任意正整数a≤A，都有))((((((123456aFFFFFFnnnnnn=1，并证明你的结论。8．设x是一个n位数，问：是否总存在非负整数y≤9和z使得10n+1z+10x+y是一个完全平方数？证明你的结论。9．设a,b,c,d∈N+,且abcd,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。证明：ab+cd不是素数。