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-1-第一讲数论综合（一）【专题知识点概述】在近几年的北京重点中学小升初分班考试中，数论题目的分值大都超过了行程问题，占据了考试内容最显著的地位！数论题目灵活多变，能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度，易于分开学生层次。数论问题按知识体系大体可分为：整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数，这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了，但它们并不是数论的全部，细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”，它们也是帮你解决数论问题的法宝。比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。【授课批注】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【习题精讲】【例1】（难度等级※※※）从1开始由小到大按顺序取自然数，第一次取一个数，第二次取两个数，第三次取三个数，以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行，第（）次取的数之和为573。【分析与解】573/3=191所以三个数分别是190、191、192因为3次是取6个数，我们用192÷6=32-2-那么也就是说，192是32个3次，就是取到192是96次。【例2】（难度等级※※※）小明写自然数从1到N，所写下的数字之和是28035，则N=？【分析与解】解法一000001002003004005006007008009010011012013014015016017018019......990991992993994995996997998999共有1000个数字.个位的1有100个个位的2有100个个位的3有100个...个位珠9有100个同理.十位的1、2、3、……9分别有100百位的1、2、3、……9有100所以1至999各位数的和是（1+2+3+……+9）*100*3=135001000到1999的个位、十位、百位数的和也是（1+2+3+……+9）*100*3=13500千位有1000个1，他们的和是1000。还有2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35全部相加是13500+13500+1000+35=28035解法二:（0、1999），（1、1998），（3，1997）……（999，1000）。这样配共1000对。每对的和都有1+9+9+9=28另外2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35所以(1+9+9+9)*1000+35=28035-3-【例3】（难度等级※※※）从1到1001的所有自然数按格式排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。【分析与解】用一个正方形框子框出的9个数的和必定是框子中间的数的9倍。(1)因为1995不是9的倍数，所以9个数的和为1995不可能。(2)2529÷9=281又281÷7=40……余1即281在所有数的排列中，它排在左边第一列上，所以不可能以它为中心构成一个9个数的正方形框。(3)1998÷9=222222÷7=31……余5框中最大数是222+1+7=230框中最小数是222-1-7=214【例4】（难度等级※※※）如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．-4-【例5】（难度等级※※※※）如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．【例6】（难度等级※※※）图中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．【例7】（难度等级※※※）-5-有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．【例8】（难度等级※※※※）用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)5，(aad)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少?【分析与解】注意(adc)5+(1)5=(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b=0，而c=(10)5－(1)5=(4)5，则C=4．而(ade)5+(1)5=(adc)5，所以e+1=c，则e=3．又d+1=口，所以d=1，a=2．那么，(cde)5为(413)5=4×52+1×5+3=108．即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．【例9】（难度等级※※※）将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…，问拐第20个弯的地方是哪个数。【分析与解】-6-拐弯的序数01234567……拐弯处的数12357101317……下面一列数中，相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、……第20个拐弯处的数是1+2×(1+2+……+10)=111【例10】（难度等级※※※※）把连续奇数1、3、5、7……，按右边的方法排列。问：数1995在哪条射线上？是这射线的第几个数？【分析与解】1995是第(1995+1)÷2=998个奇数，因为周期数是8，998÷8=124……6，所以数1995在射线C上，且是第124×2+2=250个数。【例11】（难度等级※※※※）一个正整数，如果用７进制表示为abc，如果用５进制表示为cba，请用10进制表示这个数.【分析与解】解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则n＝abc＝a×72＋b×7＋c,n=cba=c×52＋b×5＋a∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a48a＋2b－24c＝0b＝12(c－2a)∴12｜b,又∵0≤b≤4∴b＝0,∴c＝2a∴当a＝1,c＝2时，n＝51当a＝2,c＝4时，n＝102-7-【例12】（难度等级※※※※）甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位是1031。如果甲数的数字和是10，乙数的数字和是8，那么甲、乙两数和是多少？【分析与解】方法一：很显然，这道题的突破口是在个位数上乘积的尾数是1，只有1×1，3×7或者9×9两种可能，如果是1×1，根据1031判断，甲数和乙数的十位为0和3，1和2，4和9，5和8，6和7.很容易试出这些均不成立。根据乙的数字和是8，判断只有3×7这种可能假设乙的个位数是7，则只能是107。根据乘积的尾数判断，甲的十位数应该是3。（因为这个数乘以7的乘积加上个位数进位2，得3）所以甲就是433433×107＝46331不合题意。所以乙的个位数只能是3，甲的个位数只能是7。所以甲有以下情况，127217307三种情况根据上述方法很容易判断出甲是217，乙是143方法二：根据弃九法得知，乘积是3031=31×7×11×13，适当组合可得知两数为31×7=217，11×13=143，和为360.【例13】（难度等级※※※※※）有43位同学，他们身上带的钱数从8分到5角，钱数各不相同，每个同学都把身上全部的钱各自买了画片。画边有两种：3分钱一张的，和5非钱一张的。每人尽可能多卖5分钱一张的画片。问，他们能买的3分钱画片的总数是多少张？【分析与解】43人的钱从8分到5角各不相同,说明这些人身上的钱分别是:8分,9分,...,49分,50分.-8-下面分情况讨论:8=3*1+5*1(意思是3分钱一张,5分前一张)9=3*3+5*010=3*0+5*211=3*2+5*112=3*4+5*013=8+5=3*1+5*2.......50=3*0+5*10.说明:当钱除以5余1的时候,可以买2张3分的;有8个人.当钱除以5余2的时候,可以买4张3分的;有8个人.当钱除以5余3的时候,可以买1张3分的;有9个人.当钱除以5余4的时候,可以买3张3分的;有9个人.当钱除以5整除的时候,可以买0张3分的.有9个人.所以一共买了2*8+4*8+1*9+3*9=84张3分的.【例14】（难度等级※※※※※）对于由1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换．例如，24513可以进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有多少个？【分析与解】经过4次置换后最后结果必为12345，所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其他位的调换得到，规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换，那么这样的调换方法共有4×3×2×1＝24种，即可进行4次置换的五位数有24个。【例15】（难度等级※※※※※）-9-有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是多少？【分析与解】如果是4个非0数字则应该能组成4×3×2×1=24个不同的4位数，而实际只能组成18个不同的4位数，则4个数字中必然有0。因为完全平方数的个位数只能为1，4，5，6，9（0必须成对出现），所以剩下的3个数字必有两个是这5个中的2个，若最小的数字是4，5，6的话，只有9604和4096为完全平方数，但4096并不是这4个数字所组成的最小的四位数，不满足题意，所以最小数字为1，此时1089和9801这两个四位数满足题意。因此这4个数字为0、1、8、9，所能组成的四位数千位为1、8、9的均有6个，所以这18个四位数千位上之和为1×6+8×6+9×6=108,同理，个位百位十位上的数字之和均为72，所以这18个四位数之和为108×1000+72×100+72×10+72=115992，其平均数为6444【例16】（难度等级※※※※※）有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的13．求所有这样的三位数．【分析与解】设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc3ab(c3)，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，则abc+3=a(b1)(c310)，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)=1(abc)3，则a+b+c=