正余弦函数的图像与性质

1正余弦函数的图像与性质例题1.值域最值:三角函数最值问题的解题技巧三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强,解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现,有一定的难度,要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法.1、形如sinyaxb型的函数的最值例题:1)求函数2sin3yx的最值及取得最值时自变量x的集合2)函数32sin(2),,334yxx的值域是____2练习:1)求函数1)32sin(2xy的最值,并求出相应自变量x的取值范围2)已知函数)32sin(2)(xxf,若]2,4[x,求函数)(xfy的最值以及相应自变量x的值.2、形如xbxaycossin型的函数的最值.例题:1)求函数xxxxfsin)cos(sin)(的最值2)已知(1,2sin)ax，(3cos2,cos)bxx,设函数()fx＝a·b.若,0x,求)(xfy的最大值、最小值并求出对应的x值3)当223xyxx时，函数的（）sincosA.最大值为1,最小值为-1B.最大值为1,最小值为12C.最大值为2,最小值为2D.最大值为2,最小值为14)已知函数xxxf2cos3)4(sin2)(2,若不等式2)(mxf在]2,4[x上恒成立.求m的取值范围.)2|)((|mxf2、形如cxbxaysinsin2)0(a型的函数的最值.这类问题最后化为二次函数的三角最值问题,利用三角函数的有界性1)(cossin1xx,并结合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得.例题:求函数1sinsin2xxy,6sin4cos42xxy的最值.练习:1)函数22sin2cos3yxx的最值2)求函数xxysincos2在区间[,]44上的最小值.3)求函数6sin42cos4xxy的最值.4）已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx。求(x)f的最大值和最小值。3、含有xxxxcossin,cossin的函数的最值问题.通常方法是换元法:令)22(cossintxxt,将xxcossin转化为t的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围.例题:求函数xxxxycossincossin的最大值.练习:函数xxxxxfcossin1cossin)(的值域为______________.由以上几种形式,可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.4、形如dxcbxaysinsin或dxcbxaycossin(了解内容)例题:求函数xxysin2cos2的最值374练习:1)求函数xxycos232sin的最值52162)求函数2sinsinxxy的最值说明:此类问题还可以利用函数表达式的特点,应用数形结合思想使求函数最值的问题转化为求过某个定点与动点的直线斜率的最值问题.例题2.周期性3)421sin(2xy)32sin(xy)62cos(xy练习:（1)函数)4sin(xy的图像相邻两条对称轴之间的距离等于3,求的值.（2)直线1y与函数)4sin(xy的图像相邻两交点之间的距离等于3,求的值和周期.（3)已知函数)4sin(xy,若对任意xR都有12()()()fxfxfx成立,且12||xx的最小值为6,求的值（4）设函数cos0fxx，将yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于(A)13(B)3(C)6(D)9【答案】：C【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。【解析】：由题意知3为函数cos0fxx周期的正整数倍，所以*2(),663kkNk，故的最小值等于6.例题3.单调性例题:1、求函数)32sin(2)(xxf的单调增区间（或在区间[0,]上的单增区间).2、、、均为锐角,若31sin,2tan,43cos,则、、的大小顺序是（)A.B.C.D.练习:（1)求函数)32sin(2)(xxf的单调增区间.（2)比较13cos6sin6,22a22tan131tan13b,1cos502c的大小例题4.对称性1)函数xy21sin的图象的一条对称轴的方程是______A0xB2xCxD2x2)设函数()sin(2)(0),fxx()yfx的一条对称轴是直线8x.求得值；练习:1)下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线3x对称的是（).A.)62sin(xyB.sin()26xyC.sin(2)6yxD.sin(2)3yx3)以下命题中,正确命题的序号是:4①函数xysin不是周期函数②函数xytan在定义域内是增函数③函数)25sin(xy是偶函数④函数)32sin(2xy的图像关于12x成轴对称函数sin()yAxk(0,0)A的图像一、图像变换的基本知识点(1)平移变换:①左右平移:函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移||a个单位即可得到.②上下平移:函数()yfxa的图像可以把函数()yfx的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移||a个单位即可得到.(2)对称变换:①函数()yfx的图像与函数()yfx的图像关于y轴对称.②函数()yfx的图像与函数()yfx的图像关于x轴对称.(3)翻折变换:①函数|()|yfx的图像可以将函数()yfx图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留()yfx的x轴上方部分即可得到.y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx②函数(||)yfx的图像可以将函数()yfx图像的y轴右边部分沿y轴翻折到y轴左边,替代原y轴左边部分,并保留()yfx在y轴右边部分即可得到.(4)伸缩变换:①函数()yafx(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点横坐标不变,纵坐标伸长(1)a或缩短(01a)为原来的a倍得到.②函数()yfax(0)a的图像可以将函数()yfx的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标伸长(1)a或缩短(01a)为原来的1a倍得到.一、画图例题.用五点作图法画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像（简图)]2,0[,1cos2xxy12sin()36yx12cos()24yx（详见课本53页例1）例题：把函数xysin的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移4个单位，这时对应于这个图象的解析式为A.cos2yxB.sin2yxC.sin(2)4yxD.sin(2)4yx练习:（1)若函数)43sin(xy的图像向左平移m个单位所对应的函数为偶函数,求最小正实数m的值.5（2)为了得到函数sin(2)6yx的图像,可以将函数xy2cos的图像（)A向右平移6B向右平移3C向左平移6D向左平移3二、识图:知图索式与知式索图例:函数sin()yx(Rx,0,02)的部分图象如图所示,则A.4,2B.6,3C.4,4D.45,4练习:1)已知函数()sin()(,0,0,||)2fxAxxRA的图象（部分)如上右图所示.（1)求()fx的解析式；（2)若[0,1]x,求函数()fx的值域.2)已知a是实数,则函数()1sinfxaax的图象不可能．．．是()3)已知函数()tan(),fxAx（0,||2）,()yfx的部分图像如下左图,则()24fA.23B.3C.33D.234)sin()yAx(0,,)2xR的部分图象如上右图所示,则函数表达式为A.)48sin(4xyB.)48sin(4xyC.)48sin(4xyD.)48sin(4xy6三、用图例题：已知函数()2sin(2)6fxx，设x0，且方程mxf)(有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．练习：1)定义运算()()xxyxyyxy≥＜,则函数()(sin)(cos)fxxx的最小值是（)A.1；B.22；C.22；D.12)方程sinlgxx的根有个.（sin10xx、2sinxx)3)方程sin()32mx在[0,]上有两个解,求实数m的取值范围.4）求函数|212cos|xy的周期三角函数图像和性质习题例题1:已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（I)求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（II)函数()fx的图象可以由函数sin2()yxxR的图象经过怎样的变换得到？例题2：已知函数1cossin23cos212xxxy,xR（1)当y取最大值时,求自变量x的集合；（2)若[,]64x，求该函数的值域。例题3:已知函数2π()cos()12fxx,1()1sin22gxx.（I)设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴,求0()gx的值.（II)求函数()()()hxfxgx的单调递增区间.例题4：课本147页9、10、11、12