二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

第1页二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin22sincos()S22222cos2cossin()2cos112sinC222tantan2()1tanT要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,SC中，角可以为任意角，但公式2T中，只有当2k及()42kkZ时才成立；(2)倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其它如4是2的二倍、2是4的二倍、3是32的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：2cos2sin2sin；11sin2sincos()222nnnnZ2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式中，当TCS,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：第2页要点二：二倍角公式的逆用及变形1．公式的逆用2sincossin2；1sincossin22．2222cossin2cos112sincos2．22tantan21tan．2．公式的变形21sin2(sincos)；降幂公式：221cos21cos2cos,sin22升幂公式：221cos22cos,1cos22sin要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）4sincos22；（2）22sincos88；（3）2tan37.51tan37.5．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．第3页【答案】（1）2sin（2）22（3）232【解析】（1）4sincos22sincos2sin2222．（2）22222sincoscossincos888842．（3）22tan37.512sin37.5123tan751tan37.521tan37.522．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincossin12121212；（2）22cos18；（3）22tan751tan75．【答案】（1）32；（2）22；（3）3【解析】（1）原式=223cossincos121262；（2）原式=2cos(2)cos842；（3）原式=3tan150tan(18030)tan303．类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用sin2sin2cos，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin2cos2sin进行化简．第4页【答案】116【解析】方法一：sin20sin50sin70sin10sin50sin702cos10sin20cos20sin50sin40sin50sin40cos402cos104cos104cos10sin8018cos108．∴1sin10sin30sin50sin7016方法二：原式1cos20cos40cos8022sin20cos20cos40cos804sin20sin40cos40cos80sin80cos801sin16014sin202sin2016sin2016．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin0，则11sin2coscos2cos4cos22sinnnn．举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．【解析】原式2sin20cos20cos40cos80cos20cos40cos802sin202sin40cos40cos802sin80cos804sin208sin20sin160sin2018sin208sin208．类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3．化简下列各式：(1)4sin1)2(2coscos12sinsin【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan（2）sin2cos2【解析】(1).tan)cos21(cos)cos21(sincos2coscossin2sin2coscos12sinsin2(2)4sin1.2cos2sin|2cos2sin|)2cos2(sin2cos2cos2sin22sin222第5页【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：22sin22cos1,cos22cos1．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos(sinsin21cossin22sin，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos12tansin44．【解析】原式2cos22sin4cos4cos4cos2cos22sincossin2442cos21cos2．【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三：【变式1】（1）1sin6的化简结果是．（2）已知3sin5，且α∈(2，π)，则2sin2cos的值为．【答案】（1）sin3cos3（2）32【解析】（1）原式=1sin3cos3=2(sin3cos3)=|sin3cos3|=sin3cos3（2）因为3sin5，且α∈(2，π)，所以4cos5，原式第6页=22sincos3532()cos542．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用例5．求值：（1）已知3sin()1225，求cos()6．（2）已知sin()4m，求sin2．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）725（2）221m【解析】（1）cos()coscos266122=212sin122=91225=725（2）sin2cos(2)2=212sin4=212sin4=221m【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．举一反三：【变式1】已知1sincos3，且0，求sin2，cos2，tan2的值．【答案】8917981717【解析】由1sincos3，得21(sincos)9，第7页即112sincos9，∴8sin22sincos9由1sincos3，得1cossin3，∴221cossin3．即22121sinsinsin93．整理得29sin3sin40．解得117sin6或117sin6（舍去）．∴2211717cos212sin1269．∴sin2817tan2cos217．【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．【变式2】已知1tan42，（1）求tan的值；（2）求2sin2cos1cos2的值．【解析】（1）tantan1tan14tan41tan21tantan4，解得1tan3．（2）222sin2cos2sincoscos2sincos1cos212cos12cos1115tan2326．【总结升华】第（1）问中利用了方程的思想求tan的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．类型五：二倍角公式的综合应用例6．已知22()sin2sincos3cosfxxxxx，求：（1）f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；（2）f(x)的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()Axk的形式．第8页【答案】（1）22|,8xxkkz（2）单增区间3,,88kkkz单减区间5,,88kkkz【解析】（1）原式=1sin2cos21xx=sin2cos22xx=2sin(2)24x则当22,42xk即|,8xxkkz时，max()22fx（2）f(x)的单调递增区间为：222242kxk，则3,,88xkkkzf(x)的单调递减区间为：3222242kxk，则5,,88xkkkz【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()yAx的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sinsincos22，21sinsincos22．21cos2cos2，21cos2sin2．（2）扩角降幂公式21cos2cos2，21cos2sin2．例