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1相似三角形判定定理的证明（典型题）知识点1证明相似三角形判定定理图4－5－11．如图4－5－1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DEBC的值为()A.12B.13C.14D.192．如图4－5－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝()A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶2图4－5－2图4－5－33．如图4－5－3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为()A．6B．8C．10D．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．2知识点2相似三角形判定的综合应用5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6m，则池塘的宽DE为()A．25mB．30mC．36mD．40m图4－5－4图4－5－56．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，该梯子的长是________．7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.图4－5－68．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；3(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．图4－5－79．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有()A．DE2＝AD·AEB．AD2＝AF·ABC．AE2＝AF·ADD．AD2＝AE·AC图4－5－8图4－5－910．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．4图4－5－1012．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF的长．图4－5－1113．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．图4－5－12514．如图4－5－13，已知直线l的函数表达式为y＝－43x＋8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．(1)求点A，B的坐标；(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？(3)求出(2)中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．图4－5－136详解1．B2.D3．C[解析]由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，结合∠ADE＝∠EFC可得出∠B＝∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE＝BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝85DE，再根据CF＝BC－BF＝35DE＝6，所以DE＝10.4．解：已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE与△ABC相似．证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.过点D作DF∥AC交BC于点F，又∵DE∥BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，∴FCBC＝DEBC＝ADAB，∴ADAB＝AEAC＝DEBC.而∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.5．C.6．4.4m77．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.在△ACD和△BCE中，∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD∽△BCE，∴ADBE＝ACBC，∴AD·BC＝AC·BE.8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13，AD＝AB＝12.∵F是AM的中点，∴AF＝12AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BMFA＝AMEA，即56.5＝13EA，∴EA＝16.9，∴DE＝EA－AD＝4.9.9．B10．7.11．解：∠ABD＝∠ACE.理由如下：∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，8∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB∶AD＝AC∶AE，即AB∶AC＝AD∶AE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.12．解：(1)证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠BEC＝∠ACE＋∠A，∠ACF＝∠ACE＋∠ECF，∠ECF＝∠A，∴∠ACF＝∠BEC，∴△ACF∽△BEC，∴ACBE＝AFBC，∴AC2＝AF·BE.(2)∵∠A＝60°，AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠ECF，∴∠ACE＝∠FCB.又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE，∠F＝∠ABC－∠FCB，∴∠ECB＝∠F.又∵∠ABC＝∠A，∴△ACF∽△BEC，∴ACBE＝AFBC，∴AF＝163，∴BF＝AF－AB＝43.13．解：存在．①若△PCD∽△APB，则CDPB＝PDAB，即414－PD＝PD6，解得PD＝2或PD＝12；②若△PCD∽△PAB，则CDAB＝PDPB，即46＝PD14－PD，解得PD＝5.6.∴当PD的长为2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．914．解：(1)在y＝－43x＋8中，当x＝0时，y＝8；当y＝0时，x＝6.故点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．(2)在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.由题意易知BQ＝2t，AQ＝10－2t，AP＝t.在△AOB和△AQP中，∠BAO＝∠PAQ，第一种情况：当AQAB＝APAO时，△APQ∽△AOB，即10－2t10＝t6，解得t＝3011；第二种情况：当AQAO＝APAB时，△AQP∽△AOB，即10－2t6＝t10，解得t＝5013.故当t为3011或5013时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．(3)∵以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似，∴当t＝3011时，PQ8＝30116，解得PQ＝4011；当t＝5013时，PQ8＝501310，解得PQ＝4013.故当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是4011或4013.4.5相似三角形判定定理的证明10一、选择题1.下列语句正确的是()A.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则⊿ABC和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B′=10,则⊿ABC∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ACAD＝31，AE＝BE，则有（）A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD(3题)(4题)3．已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为()A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm5.可以判定ABC∽'''CBA，的条件是（）A.∠A=∠'C=∠'BB.''''CABAACAB，且∠A=∠'CC.''''CAACBAAB且∠A=∠'BD.以上条件都不对二、填空题116.已知一个三角形三边长是6cm，7.5cm，9cm，另一个三角形的三边是8cm，10cm，12cm，则这两个三角形（填相似或不相似）7.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________8.四边形ABCD∽四边形A,B,C,D,∠A=70度，∠B,=108度，∠C,=92度则∠D=_______9.在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使⊿CBF∽⊿CDE，则BF的长为________三、计算题10.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：⊿ADQ∽⊿QCP．11.⊿ABC中,AD、CE是中线,∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.12EDCBA13参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.B5.D二、填空题6.相似7.728.∠D=9009.1.8三、10.证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC=BC=CD，DQ=CD，即：DQ:PC=2:1QC:AD=2:1加上直角相等可证相似。11.等腰三角形。