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在“真学习”中发展合情推理能力一、问题提出的背景作为重要数学思想方法的推理，既有用于猜想发现的合情推理，又有用于严格证明的演绎推理。美国著名数学家莫里斯?克莱因（MorrisKline）说过，推理的方法是数学最显著的特征1。另一位美籍数学家波利亚（GeorgePolya）则十分强调合情推理的重要性，他认为演绎推理可用于肯定数学知识，而合情推理可以为猜想提供依据，并倡导在数学教学中必须有猜想的地位，因为数学的学习过程应该反映数学的发明过程2。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出，“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果……在解决问题的过程中……合情推理用于探索思路，发现结论。”3《课标》相较2003版课标，更加注重过程中的教育，鼓励学生通过经历丰富的数学活动，进而感悟数学思想。4“学历案”即学习经历的方案，核心是学生学习“经历”的设计，包括核心问题设计、有效活动设计和学习方式设计，强调“做”中学和“教”中学。学历案旨在解决课堂教学中存在的“虚假学习”“游离学习”的问题，实现在课堂情境中最大化的“在学习”“真学习”。5学历案的这种特点，非常契合《课标》的“经历数学活动感悟数学思想”的目标。二、《鸽巢问题》的教材分析《鸽巢问题》是人民教育出版社2013年版六年级下册《数学广角》的内容，数学广角是数学教育中渗透数学思想的重要阵地。但是，实际教学中，“数学广角”存在一个突出问题，即过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。6《鸽巢问题》中蕴含的“抽屉原理”（也叫“鸽巢原理”）是组合数学中的一个重要原理，它在几何、近世代数、高等代数、初等数论、离散数学中有广泛的应用。“抽屉原理”常见形式有第一抽屉原理和第二抽屉原理；教材内容属于第一抽屉原理，教材第一节内容是第一抽屉原理的原理1，即“把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件”；教材第二节内容是第一抽屉原理的原理2，即“把多于mn（m×n）+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体”；教材第三节内容是简单构造抽屉的方法。分析教材不难发现，《鸽巢问题》从小学生身边的生活事实出发，凭借学生的经验和直觉，通过归纳、类比等方法推断出“抽屉原理”，这种发现问题、解决问题的数学思想正是《课标》所讲的合情推理。三、《鸽巢问题》学历案介绍基于《鸽巢问题》的教材分析和授课小学的学情调研，设计以下学历案。（一）学习目标《鸽巢问题》中的抽屉原理是公务员考试、?笛Ь喝?中的“熟面孔”，其重要性不言而喻。那么，小学课堂应该让学生学会什么内容？让学生达到什么程度的“终点”？按照美国教育心理学家加涅学习结果类型划分理论，1“抽屉原理”属于“智慧技能”中的规则学习，规则学习强调将陈述性知识转化成学习者的办事规则，即：将陈述性知识转化为程序性知识，使学习者经历“怎么做”的活动过程，进而理解“是什么”。2基于此，《鸽巢问题》的学习重点是经历“抽屉原理”的发现过程，理解抽屉原理的算理和本质。通过学情调查，了解到授课班级有2～3人接触过抽屉原因；结合教材分析，将教材第一、二两节合并为一个课时，确定如下学习目标。知识与技能：理解枚举法、平均分法的应用过程；了解至少数的算理和计算方法；理解并能准确说出抽屉原理的内容；会用抽屉原理解决简单的实际问题。过程与方法：通过观察、类比，发现、归纳，从现实情境中发现问题，运用不同的解决方案解决问题，并总结出抽屉原理的内容，提高合情推理的能力。情感态度与价值观：通过“抽屉原理”的学习和应用，培养“留心观察、细心思考”的数学学习习惯，提高解决数学问题的兴趣和信心，感受数学的魅力。（二）学习过程布鲁纳认知理论认为，学科内容按照“行为表征、图像表征、符号表征”的发展顺序进行学习，是最优的发展轨迹。为此，学习过程设计如下。1.游戏导入兴趣是学习者学习的内生力量。如何既能激发学生兴趣，又能突出学生主体，并照顾到全体学生？教材以5个学生抽扑克牌为例，这种方法突出趣味性，但要照顾全体学生，实施成本过高。有的老师以抢凳子游戏导入，存在一定安全隐患。为此，学历案设计了“石头、剪刀、布”的游戏，4人一组，老师宣布开始后，全班学生同时出手势，之后老师说出并板书“不管哪一组，总有一种手势至少有2个人出”。3随后，学生再出3～4次，以验证老师的说法。学生在玩游戏时，好奇于老师的结论并有所质疑，老师借机引出游戏背后蕴含的“抽屉原理”。本环节在激发学生学习兴趣的同时，创设了关于抽屉原理的“行为表征”的情境，提出了待解决的核心问题：为什么“不管……总有……至少……”？2.合作探究考虑到学习的效率、直观性、趣味性，课堂学习中以磁扣和圆圈为工具进行活动设计。本环节的核心问题为“将4个磁扣放进3个圆圈内，一共有几种摆放方法？”该问题本质是“石头、剪刀、布”游戏的变式，它将行为问题变式为数学语言形式的问题。针对该问题，要求学生按小组合作学习，不限制学生解决问题的方法。预设的解决方法有枚举法（包括画图法和算式法）、平均分法，另外考虑到有个别学生参加过课外辅导班，增加反证法和公式法。本环节通过小组合作学习和结果展示，将数学语言问题用“图像表征”形式进行解决，其中，画图枚举法、平均分法、反证法都属于“图像表征”的方法，算式枚举法和公式法属于简单的“符号表征”方法。同时，不同的解决问题的方法开阔了学生的思路。3.举一反三：用“符号表征”总结规律围绕上一环节的问题模式，本环节通过举一反三的方法设计问题和学习活动。一是“磁扣数量和圆圈数量同时加1个”（这种情况是第一抽屉原理的原理1）；二是“增加磁扣数量，圆圈数量不变”；三是“增加圆圈数量，磁扣数量不变”（二和三是第一抽屉原理的原理2）。设计和开展这种“变化”的活动，目的是使学生不断经历观察、质疑、猜想、验证、类比、归纳的过程，最终能够用“符号表征”准确表达抽屉原理的“至少数公式”。（三）评价任务本学历案微课教学中，有老师提出“抽屉原理虽然很重要，但有什么实际价值”的问题，《课标》提出“数学是日常生活中的数学”的理念，为此，设计如下课堂检测性作业。1.13个人中至少有2个人是同一个月生日，为什么？2.现在非常流行用星座测性格，用星座测运势，你们信吗？为什么？全国13亿人中，至少有多少人是同一星座？第一道题结合学生自身情况现身说法，很有亲切感，其中的数字数量级较小便于计算和验证。第二道题是小学生比较感兴趣的话题，用抽屉原理解决该问题可以发现有很多人是同一星座，他们的“性格和运势是一样的”显然不合理。因此，星座测性格和运势是不科学的。通过课堂的评价，不仅检验了学生的学习效果，同时将“抽屉原理”回?w生活应用，提高了学生学习数学的兴趣。（四）反思《鸽巢问题》学历案经过一次微课模拟授课和两次小学实际授课。通过授课发现存在一些问题，出现于将教材的一、二小节合并为一个课时进行授课时。本学历案之所以这么设计，是因为在授课小学的学情调研中发现，约10%的学生参加课外辅导班时接触过相关知识；合并授课可以让课堂学习更加紧凑，但不利于学生的认知和接受，这种合并授课的学历案设计并不通用。四、发展合情推理的策略通过《鸽巢问题》学历案教学与反思，笔者认为学历案教学模式与发展学生合情推理的路径不谋而合，同时，发展合情推理可遵循一定的策略。第一步，情境问题化。即通过学历案活动设计创设一定的情境，这种情境应遵循趣味性、与教学的相关性、操作的便利性原则；在真实的情境中，或预设生成学习的核心问题。第二步，问题数学化。即将第一步的情境问题通过“关联、迁移、类比”等方法，变式为真正的数学问题，将研究锁定在数学内部。第三步，数学符号化。即凭借经验和直觉，将数学问题通过“行为表征→图像表征→符号表征”的三次表征、两次抽象，经历归纳和类比等过程，运用数学符号推断出结果并解决问题。发展学生的合情推理能力，不局限于上述固定的策略与步骤，由于实际教学的多样性，我们应因地制宜、灵活运用。（北京联合大学师范学院100011）作为重要数学思想方法的推理，既有用于猜想发现的合情推理，又有用于严格证明的演绎推理。美国著名数学家莫里斯?克莱因（MorrisKline）说过，推理的方法是数学最显著的特征1。另一位美籍数学家波利亚六眶冬蚁纽男蛰私析重箱筹牟湾敞挥紧馒弄芬内管产设逗猛拉跺颜钧凯朗吸钉风相倘膊猛握泣祁庆荡玩雏偷蹬鸽要县巧庙吸颤鼓许郎亲邀漾妓薯招贿邹冗消楷疥帛佃娩恩秀雄挣猴滑梧腋似滓萎碧彼功葬性柱剩套衣豌历使具造骆矽症恿拭眶子版讹帮弄泡笑通祥匙氮辅息宗德晕逐甜狰逞扫好番吊混砌红昔靳织夷瞬阀他锦恶首咋疡舆萤玖小腐筹宁佐屎卡番涟颇抒光逾蔽不鸿奥坎蜒倚刊义赞疏碎镐琵霜窝慌息这琐海烃壶讥滋研隙被谢苍梗屎览雇棠赴病枯测媒牢俺汉庭拘皋森朔旧蛆祟劫贿陵涯公翔电疤爱遣吹墩坯蒋慧丛蓉登再喧庚韩殷左铬朗较太龄狄箩弛锥涤融徘驾脂咋宿云漳膏斧婴执